广东省佛山市普通高中2022届高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-02-14 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | l g x < 1} ， B = {x | x < 2}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $(- \infty ， 2)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(0 ， 2)$ D、 $(1 ， 10)$

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2. 设命题 $p ： \exists x \in R ， x^{2} > 2^{x}$ ，则p的否定为（）

A、 $\forall x \in R ， x^{2} < 2^{x}$ B、 $\forall x \in R ， x^{2} \leq 2^{x}$ C、 $\exists x \in R ， x^{2} < 2^{x}$ D、 $\exists x \in R ， x^{2} \leq 2^{x}$

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3. 已知 $s i n (\frac{π}{2} + α) = \frac{1}{2} ， α \in (- \frac{π}{2} ， 0)$ ，则 $t a n α$ 等于（）

A、 $- \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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4. $(x - y + 2)^{5}$ 的展开式中， $x^{3} y$ 的系数为（）

A、80 B、40 C、-80 D、-40

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5. 某科技研发公司2021年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，计划每年投入的研发资金比上一年增加10%.则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.301 ， l g 3 \approx 0.477 ， l g 5 \approx 0.699 ， l g 11 \approx 1.041$ ）

A、2027年 B、2028年 C、2029年 D、2030年

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6. 某地区教研部门为了落实义务教育阶段双减政策，拟出台作业指导方案.在出台方案之前作一个调查，了解本地区义务教育阶段学生中抄袭过作业的学生比例.对随机抽出的2000名学生进行了调查，因问题涉及隐私，调查中使用了两个问题：问题1：你的阳历生日日期是不是偶数？问题2：你是否抄袭过作业？调查者设计了一个随机化装置，这是一个装有除颜色外完全一样的50个白球和50个红球的不透明袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球，摸出的球看到颜色后放回袋中，只有摸球者自己才能看到摸出球的颜色.要求摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸到红球的学生如实回答第二个问题，答案为“是”的人从盒子外的小石子堆中拿一个石子放在盒子中，回答“否”的人什么都不要做.由于问题的答案只有“是”和“否”，而且回答的是哪个问题也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.调查结果为2000人中共有612人回答“是”，则本地区义务教育阶段学生中抄袭过作业的学生所占百分比最接近（）（提示：假设一年为365天，其中日期为偶数的天数为179天）

A、10.2% B、12.2% C、24.4% D、30.6%

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7. 长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1 ， A D = A A_{1} = 2$ ， E为棱 $A A_{1}$ 上的动点，平面 $B E D_{1}$ 交棱 $C C_{1}$ 于F，则四边形 $B E D_{1} F$ 的周长的最小值为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{13}$ C、 $2 (\sqrt{2} + \sqrt{5})$ D、 $2 + 4 \sqrt{2}$

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8. 设函数 $f (x)$ 的导函数是 $f (x)$ ，且 $f (x) \cdot f (x) > x$ 恒成立，则（）

A、 $f (1) < f (- 1)$ B、 $f (1) > f (- 1)$ C、 $| f (1) | < | f (- 1) |$ D、 $| f (1) | > | f (- 1) |$

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二、多选题

9. 抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数.用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用 $(x ， y)$ 表示一次试验的结果.定义事件： $A =$ “ $x + y = 7$ ”，事件 $B =$ “ $x y$ 为奇数”，事件 $C =$ “ $x > 3$ ”，则下列结论正确的是（）

A、A与B互斥 B、A与B对立 C、 $P (B | C) = \frac{1}{3}$ D、A与C相互独立

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10. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1} ， F_{2}$ ，上顶点为B，且 $t a n ∠ B F_{1} F_{2} = \sqrt{15}$ ，点P在C上，线段 $P F_{1}$ 与 $B F_{2}$ 交于Q， $\vec{B Q} = 2 \vec{Q F_{2}}$ ，则（）

A、椭圆C的离心率为 $\frac{1}{4}$ B、椭圆C上存在点K，使得 $K F_{1} ⊥ K F_{2}$ C、直线 $P F_{1}$ 的斜率为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $P F_{1}$ 平分 $∠ B F_{1} F_{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = 1 - c o s π x$ ， $g (x) = e^{| x - 1 |}$ ，则（）

A、曲线 $y = f (x) + g (x)$ 是中心对称图形 B、曲线 $y = f (x) + g (x)$ 是轴对称图形 C、函数 $y = \frac{f (x)}{g (x)}$ 既有最大值又有最小值 D、函数 $y = \frac{f (x)}{g (x)}$ 只有最大值没有最小值

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12. 数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 0 ， a_{2} = 1 ， a_{n + 2} = \frac{1}{2} (a_{n + 1} + a_{n}) (n \in N^{*})$ .则下列结论中正确的是（）

A、 $0 \leq a_{n} \leq 1$ B、 ${| a_{n + 1} - a_{n} |}$ 是等比数列 C、 $a_{1} < a_{10} < a_{9}$ D、 $a_{9} < a_{10} < a_{8}$

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三、填空题

13. 在复平面内，复数z对应的点的坐标是 $(3 ， - 5)$ .则 $(1 - i) z =$ .

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14. 抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点 $M (3 ， t)$ 与焦点F的距离 $| M F | = p$ ，则M到坐标原点的距离为.

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15. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 在一个周期内的图象如图所示，图中 $f (0) = \frac{1}{2}$ ， $f (\frac{5 π}{12}) = 0$ ，则 $f (- \frac{5 π}{12}) =$ .

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16. 菱形 $A B C D$ 中， $A B = 1 ， A \in [\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ ，点E，F分别是线段 $A D ， C D$ 上的动点（包括端点）， $A E = C F$ ，则 $(\vec{A E} + \vec{C F}) \cdot \vec{A C} =$ ， $\vec{E D} \cdot \vec{E B}$ 的最小值为.

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四、解答题

17. $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a c o s C = (2 b - c) c o s A$ .

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $b = 2 ， B C$ 边上的中线 $A D = \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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18. 某财经杂志发起一项调查，旨在预测中国经济前景，随机访问了 $100$ 位业内人士，根据被访问者的问卷得分（满分 $10$ 分）将经济前景预期划分为三个等级（悲观､尚可､乐观）.分级标准及这 $100$ 位被访问者得分频数分布情况如下：
经济前景等级
悲观
尚可
乐观
问卷得分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
频数
2
3
5
10
19
24
17
9
7
4
假设被访问的每个人独立完成问卷（互不影响），根据经验，这 $100$ 位人士的意见即可代表业内人士意见，且他们预测各等级的频率可估计未来经济各等级发生的可能性.

(1)、该杂志记者又随机访问了两名业内人士，试估计至少有一人预测中国经济前景为“乐观”的概率；

(2)、某人有一笔资金，现有两个备选的投资意向：物联网项目或人工智能项目，两种投资项目的年回报率都与中国经济前景等级有关，根据经验，大致关系如下（正数表示赢利，负数表示亏损）：
经济前景等级
乐观
尚可
悲观
物联网项目年回报率（%）
12
4
-4
人工智能项目年回报率（%）
7
5
-2
根据以上信息，请分别计算这两种投资项目的年回报率的期望与方差，并用统计学知识给出投资建议.

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19. 设 $S_{n}$ 为等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和， $S_{3}$ 、 $S_{9}$ 、 $S_{6}$ 成等差数列.

(1)、求证： $a_{2}$ 、 $a_{8}$ 、 $a_{5}$ 成等差数列；

(2)、若 $a_{1} = 2$ ， $T_{n}$ 是数列 ${a_{n}^{6}}$ 的前 $n$ 项积，求 $T_{n}$ 的最大值及相应 $n$ 的值.

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是矩形， $A D ⊥$ 平面 $P A B$ ， $P A ⊥ P B$ ， E是 $A D$ 的中点.

(1)、在线段 $B P$ 上找一点M，使得直线 $E M / /$ 平面 $P C D$ ，并说明理由；

(2)、若 $P A = A D ， A B = \sqrt{2} A D$ ，求平面 $P C E$ 与平面 $P A B$ 所成二面角的正弦值.

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21. 已知双曲线C的渐近线方程为 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x$ ，且过点 $P (3 ， \sqrt{2})$ .

(1)、求C的方程；

(2)、设 $Q (1 ， 0)$ ，直线 $x = t (t \in R)$ 不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线 $B Q$ 与C交于另一点D，求证：直线 $A D$ 过定点.

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22. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{a} e^{x} - \sqrt{1 + x}$ ，其中 $a \in R$ 且 $a \neq 0$ .

(1)、设 $a > 0$ ，过点 $A (- 1 ， - \frac{1}{2})$ 作曲线 $C ： y = f (x)$ 的切线（斜率存在），求切线的斜率；

(2)、证明：当 $a = 1$ 或 $0 < a ≤ \frac{2}{e}$ 时， $f (x) \geq \frac{1}{2} a x (x \geq - 1)$ .

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经济前景等级	悲观			尚可				乐观
问卷得分	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
频数	2	3	5	10	19	24	17	9	7	4