北京市海淀区2022届高三上学期数学期末练习试卷

试卷更新日期：2022-02-14 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 1 ， 0 ， 1 ， 2}$ ， $B = {x | x (x - 2) < 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、{0} C、{1} D、 ${0 ， 1}$

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2. 抛物线 $x^{2} = 2 y$ 的准线方程为（）

A、 $x = - 1$ B、 $x = - \frac{1}{2}$ C、 $y = - 1$ D、 $y = - \frac{1}{2}$

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3. 复数 $\frac{5}{2 + i}$ 的虚部为（）

A、-2 B、2 C、-1 D、1

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4. 在 ${(x - \frac{1}{^{}})}^{4}$ 的展开式中， $x$ 的系数为（）

A、-4 B、4 C、-6 D、6

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5. 已知角 $a$ 的终边在第三象限，且 $t a n α = 2$ ，则 $s i n α - c o s α =$ （）

A、-1 B、1 C、 $- \frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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6. 已知 ${a_{n}}$ 是等差数列， $S_{n}$ 是其前 $n$ 项和.则“ $a_{4} > a_{3}$ ”是“对于任意 $n \in N^{*}$ 且 $n \neq 3$ ， $S_{n} > S_{3}$ ”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 若函数 $y = s i n (π x - \frac{π}{6})$ 在 $[0 ， m]$ 上单调递增，则 $m$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、1

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8. 已知圆 $C$ 过点 $A (- 1 ， 2)$ ， $B (1 ， 0)$ ，则圆心 $C$ 到原点距离的最小值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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9. 如图， $A$ ， $B$ 是两个形状相同的杯子，且 $B$ 杯高度是 $A$ 杯高度的 $\frac{3}{4}$ ，则 $B$ 杯容积与 $A$ 杯容积之比最接近的是（）

A、1：3 B、2：5 C、3：5 D、3：4

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10. 已知函数 $f (x) = 2^{x}$ ， $g (x) = l o g_{a} x$ .若对于 $f (x)$ 图象上的任意一点 $P$ ，在 $g (x)$ 的图象上总存在一点 $Q$ ，满足 $O P ⊥ O Q$ ，且 $| O P | = | O Q |$ .则实数 $a =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、4

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二、填空题

11. 双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线方程为．

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12. 已知函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 3 ， 3]$ ， $f (x)$ 的图象向右平移1个单位后所得的函数图象与 $f (x)$ 的图象重合，写出符合上述条件的一个函数 $f (x)$ 的解析式：.

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13. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E为棱 $B_{1} C_{1}$ 的中点，动点 $P$ 沿着棱DC从点D向点C移动，对于下列三个结论：

①存在点P，使得 $P A_{1} = P E$ ；

② $△ P A_{1} E$ 的面积越来越小；

③四面体 $A_{1} P B_{1} E$ 的体积不变.

所有正确的结论的序号是.

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14. 已知甲盒中有3个白球，2个黑球；乙盒中有1个白球，2个黑球.现从这8个球中随机选取一球，该球是白球的概率是，若选出的球是白球，则该球选自甲盒的概率是.

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15. 若 $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = {\vec{A B}}^{2} = 4$ ，且 $| \vec{A P} | = 1$ ，则 $| \vec{A B} | =$ ， $\vec{C P} \cdot \vec{A B}$ 的最大值为.

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三、解答题

16. 在 $△ A B C$ 中， $b^{2} + c^{2} - a^{2} + b c = 0$ .

(1)、求 $∠ A$ 的大小；

(2)、再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选报两个作为已知，使得 $△ A B C$ 存在，求 $△ A B C$ 的面积.
条件①： $c o s B = \frac{1}{3}$ ；
条件②： $s i n C = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ；
条件③： $a = \sqrt{3}$ .

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17. 如图，已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 2$ ， $A A_{1} = 1$ . $E$ 为 $A_{1} D_{1}$ 的中点，平面 $C B_{1} E$ 交棱 $D D_{1}$ 于点F.

(1)、求证： $B_{1} C / / E F$ ；

(2)、求二面角 $C - B_{1} E - C_{1}$ 的余弦值，并求点A到平面 $C B_{1} E$ 的距离.

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18. 某班组织冬奥知识竞赛活动，规定首轮比赛需要从6道备选题中随机抽取3道题目进行作答.假设在6道备选题中，甲正确完成每道题的概率都是 $\frac{2}{3}$ 且每道题正确完成与否互不影响，乙能正确完成其中4道题且另外2道题不能完成.

(1)、求甲至少正确完成其中2道题的概率；

(2)、设随机变量X表示乙正确完成题目的个数，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ ；

(3)、现规定至少正确完成其中2道题才能进入下一轮比赛，请你根据所学概率知识进行预测，谁进入下一轮比赛的可能性较大，并说明理由.

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19. 已知点 $A (0 ， - 1)$ 在椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 上.

(1)、求椭圆 $C$ 的方程和离心率；

(2)、设直线 $l$ ： $y = k (x - 1)$ （其中 $k \neq 1$ ）与椭圆 $C$ 交于不同两点E，F，直线AE，AF分别交直线 $x = 3$ 于点M，N.当 $△ A M N$ 的面积为 $3 \sqrt{3}$ 时，求 $k$ 的值.

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20. 函数 $f (x) = a e^{x} - s i n x + 2 x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、当 $a \geq 0$ 时，求函数 $f (x)$ 在 $[0 ， 1]$ 上的最小值；

(3)、直接写出 $a$ 的一个值，使 $f (x) \leq a$ 恒成立，并证明.

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21. 已知 $n$ 行 $n$ 列 $(n \geq 2)$ 的数表 $A = (\begin{array}{l} a_{11} & a_{12} & \cdot \cdot \cdot & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdot \cdot \cdot & a_{2 n} \\ ⋮ & ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ a_{n 1} & a_{n 2} & \cdot \cdot \cdot & a_{n n} \end{array})$ 中，对任意的 $i \in {1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n}$ ， $j \in {1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n}$ ，都有 $a_{i j} \in {0 ， 1}$ .若当 $a_{s t} = 0$ 时，总有 $\sum_{i = 1}^{n} a_{i t} + \sum_{j = 1}^{n} a_{s j} \geq n$ ，则称数表A为典型表，此时记 $S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i j}$ .

(1)、若数表 $B = (\begin{array}{l} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{array})$ ， $C = (\begin{array}{l} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{array})$ ，请直接写出B，C是否是典型表；

(2)、当 $n = 6$ 时，是否存在典型表A使得 $S_{6} = 17$ ，若存在，请写出一个A；若不存在，请说明理由；

(3)、求 $S_{n}$ 的最小值.

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