北京市海淀区2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-02-14 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列直线中，倾斜角为45°的是（）

A、 $x + y - 1 = 0$ B、 $x + 1 = 0$ C、 $x - y + 2 = 0$ D、 $x - \sqrt{2} y - 1 = 0$

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2. 若直线 $x - a y + 1 = 0$ 与直线 $2 x + y = 0$ 垂直，则a的值为（）

A、2 B、1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、-1

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3. 如图，在四面体 $O - A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ， D为BC的中点，E为AD的中点，则 $\vec{O E}$ 可用向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 表示为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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4. 平面 $α$ 与平面 $β$ 平行的充分条件可以是（）

A、平面 $α$ 内有一条直线与平面 $β$ 平行 B、平面 $α$ 内有两条直线分别与平面 $β$ 平行 C、平面 $α$ 内有无数条直线分别与平面 $β$ 平行 D、平面 $α$ 内有两条相交直线分别与平面 $β$ 平行

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5. 若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的一条渐近线经过点 $(\sqrt{3} ， 1)$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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6. 已知球O的半径为2，球心到平面 $α$ 的距离为1，则球O被平面 $α$ 截得的截面面积为（）

A、 $2 \sqrt{3} π$ B、3π C、 $\sqrt{3} π$ D、π

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7. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $A B ⊥ A C$ ， $P A = \sqrt{2}$ ， $A B = A C = 2$ ，则点A到平面PBC的距离为（）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8. 如图， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 是平面上的两点，且 $| F_{1} F_{2} | = 10$ ，图中的一系列圆是圆心分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 的两组同心圆，每组同心圆的半径分别是1，2，3，…，A，B，C，D，E是图中两组同心圆的部分公共点.若点A在以 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为焦点的椭圆M上，则（）

A、点B和C都在椭圆M上 B、点C和D都在椭圆M上 C、点D和E都在椭圆M上 D、点E和B都在椭圆M上

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9. 设 $P$ 为直线 $y = k x + 2$ 上任意一点，过 $P$ 总能作圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，则 $k$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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10. 某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”.他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A，C之间的曲线）绕其虚轴所在直线l旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2.该小组给出了图1中的相关数据： $A A_{1} = 13 c m$ ， $B B_{1} = 12 c m$ ， $C C_{1} = 20 c m$ ， $A_{1} B_{1} = 15 c m$ ， $B_{1} C_{1} = 48 c m$ ，其中B是双曲线的一个顶点.小组中甲､乙､丙､丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如下表所示
学生
甲
乙
丙
丁
估算结果（ $c m^{3}$ ）
25200π
17409π
14889π
13809π
其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（）（参考公式： $V_{圆柱} = π R^{2} h$ ， $V_{圆锥} = \frac{1}{3} π R^{2} h$ ， $V_{圆台} = \frac{1}{3} π h (r^{2} + r R + R^{2})$ ）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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二、填空题

11. 圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x + 6 y + 9 = 0$ 的圆心坐标为；半径为.

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12. 已知双曲线M的中心在原点，以坐标轴为对称轴.从以下三个条件中任选两个条件，并根据所选条件求双曲线M的标准方程.①一个焦点坐标为 $(2 ， 0)$ ；②经过点 $(\sqrt{3} ， 0)$ ；③离心率为 $\sqrt{2}$ .你选择的两个条件是，得到的双曲线M的标准方程是.

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13. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $\vec{A C_{1}} \cdot \vec{A_{1} B_{1}} =$ .

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14. 椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，过原点的直线与椭圆 $C$ 交于两点 $A$ 、 $B$ ，则 $△ A B F$ 的面积的最大值为.

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15. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 1$ ， $A D = \sqrt{3}$ ，将 $△ A B D$ 沿BD所在的直线进行翻折，得到空间四边形 $A_{1} B C D$ .
给出下面三个结论：
①在翻折过程中，存在某个位置，使得 $A_{1} C ⊥ B D$ ；
②在翻折过程中，三棱锥 $A_{1} - B C D$ 的体积不大于 $\frac{1}{4}$ ；
③在翻折过程中，存在某个位置，使得异面直线 $A_{1} D$ 与 $B C$ 所成角为45°.
其中所有正确结论的序号是.

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三、解答题

16. 在平面直角坐标系xOy中，圆O以原点为圆心，且经过点 $M (1 ， \sqrt{3})$ .

(1)、求圆O的方程；

(2)、若直线 $\sqrt{3} x + y - 2 = 0$ 与圆O交于两点A，B，求弦长 $| A B |$ .

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17. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A C ⊥ B C$ ， $A C = B C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ .M为侧棱 $B B_{1}$ 的中点，连接 $A_{1} M$ ， $C_{1} M$ ， CM.

(1)、证明：AC $∥$ 平面 $A_{1} C_{1} M$ ；

(2)、证明： $C M ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} M$ ；

(3)、求二面角 $C_{1} - A_{1} M - B_{1}$ 的大小.

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18. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x$ 经过点 $(1 ， 2)$ .

(1)、求抛物线C的方程及其准线方程；

(2)、经过抛物线C的焦点F的直线l与抛物线交于两点M，N，且与抛物线的准线交于点Q.若 $| M N | = 2 \sqrt{2} | Q F |$ ，求直线l的方程.

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19. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，一个焦点为 $(2 ， 0)$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为原点，直线 $y = x + m$ （ $m \neq 0$ ）与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $A ， B$ ，且与轴交于点 $C$ ， $P$ 为线段 $O C$ 的中点，点 $B$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $B_{1}$ .证明： $△ P A B_{1}$ 是等腰直角三角形.

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学生	甲	乙	丙	丁
估算结果（ $c m^{3}$ ）	25200π	17409π	14889π	13809π