北京房山区2021—2022学年度高一上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-02-14 类型：期末考试

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一、单选题

1. 化简 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 的结果是（）

A、 $x^{\frac{2}{3}}$ B、 $x^{\frac{3}{2}}$ C、 $x^{\frac{1}{6}}$ D、 $x^{6}$

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2. 下列函数中，值域是 $R$ 的幂函数是（）

A、 $y = x^{\frac{1}{3}}$ B、 $y = {(\frac{1}{3})}^{x}$ C、 $y = x^{\frac{2}{3}}$ D、 $y = {(\frac{2}{3})}^{x}$

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3. 某校高一共有10个班，编号为01，02，…，10，现用抽签法从中抽取3个班进行调查，设高一（5）班被抽到的可能性为a，高一（6）班被抽到的可能性为b，则（）

A、 $a = \frac{3}{10}$ ， $b = \frac{2}{9}$ B、 $a = \frac{1}{10}$ ， $b = \frac{1}{9}$ C、 $a = \frac{3}{10}$ ， $b = \frac{3}{10}$ D、 $a = \frac{1}{10}$ ， $b = \frac{1}{10}$

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4. 下列函数中，既是奇函数又在区间 $(0 ， + \infty)$ 上单调递增的是（）

A、 $y = - x^{2} + 1$ B、 $y = l o g {}_{2}x$ C、 $y = x^{3}$ D、 $y = \sqrt{x}$

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5. 已知函数 $f (x) = 2^{x}$ 的反函数是 $y = g (x)$ ，则 $g (\frac{1}{2})$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、-1

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6. 为了丰富学生的假期生活，某学校为学生推荐了《西游记》、《红楼梦》、《水浒传》和《三国演义》 $4$ 部名著．甲同学准备从中任意选择 $2$ 部进行阅读，那么《红楼梦》被选中的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 下图是国家统计局发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图，其中上面折线是同比涨跌幅情况折线图，下面折线是环比涨跌幅情况折线图，（注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比），根据该折线图，下列结论不正确的是（）

A、2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨 B、2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌 C、2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大 D、2019年3月全国居民消费价格环比变化最快

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8. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{x} ， x < 2 \\ l o g_{2} (x - 1) ， x \geq 2 \end{array}$ ，若 $f (x) > 1$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(0 ， 3)$ B、 $(- \infty ， 0) ∪ (3 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) ∪ (2 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 2)$

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9. 某食品的保鲜时间 $y$ （单位：小时）与储藏温度 $x$ （单位： $° C$ ）满足函数关系 $y = e^{k x + b}$ （ $e = 2.718 ⋯$ 为自然对数的底数， $k ， b$ 为常数）．若该食品在 $0 ° C$ 的保鲜时间是192小时，在 $33 ° C$ 的保鲜时间是24小时，则该食品在 $22 ° C$ 的保鲜时间是（）

A、20 小时 B、24小时 C、36小时 D、48小时

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10. 已知函数 $y = f (x)$ ，若在定义域内存在实数 $x$ ，使得 $f (- x) = - k f (x)$ ，其中 $k$ 为整数，则称函数 $y = f (x)$ 为定义域上的“ $k$ 阶局部奇函数”，若 $f (x) = l o g_{2} (x + m)$ 是 $[- 1 ， 1]$ 上的“ $1$ 阶局部奇函数”，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， \sqrt{2}]$ B、 $(1 ， \sqrt{2}]$ C、 $[- \sqrt{2} ， \sqrt{2}]$ D、 $[- 1 ， \sqrt{2}]$

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二、填空题

11. 已知事件 $A$ 与事件 $B$ 是互斥事件，若事件 $A$ 与事件 $B$ 同时发生的概率记为 $p$ ，则 $p =$ ．

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12. 函数 $f (x) = lg x + \sqrt{2 - x}$ 的定义域为.

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13. 已知 $a = (- 3)^{\frac{1}{3}}$ ， $b = 2 . 5^{\frac{2}{3}}$ ， $c = (- 1.4)^{\frac{2}{3}}$ ，则 $a ， b ， c$ 的大小关系为．

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14. 试写出函数 $f (x)$ ，使得 $f (x)$ 同时 $f (x)$ 满足以下条件： ①定义域为 $[0 ， + ∞)$ ；②值域为 $[0 ， + ∞)$ ；③在定义域内是单调增函数．则函数 $f (x)$ 的解析式可以是（写出一个满足题目条件的解析式）．

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15. 甲、乙两名射击运动员在某次测试中各射击20次，两人的测试成绩如下表：
甲的
成绩
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
乙的
成绩
环数
7
8
9
10
频数
6
4
4
6
若 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 分别表示甲、乙两名运动员的这次测试成绩的平均数，则 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 的大小关系是；若 $s_{1}$ ， $s_{2}$ 分别表示甲、乙两名运动员的这次测试成绩的标准差，则 $s_{1}$ ， $s_{2}$ 的大小关系是．

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三、解答题

16. 已知幂函数 $f (x) = x^{α}$ 的图象经过点 $(\sqrt{2} ， 2)$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若函数 $f (x)$ 满足条件 $f (2 - a) > f (a - 1)$ ，试求实数 $a$ 的取值范围．

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17. 在创建文明城市活动中，房山区某单位共有100名文明交通义务劝导志愿者（简称为志愿者），他们每周三和每周五的上午 $8 ： 00 - 9 ： 00$ ，下午 $5 ： 00 - 6 ： 00$ 上下班的高峰时段，在红绿灯路口义务执勤，劝导行人自觉遵守交通规则，该单位对他们自2021年9月至12月参加活动的次数统计如下图所示．区创城办为了解市民文明出行情况，采用分层抽样的方法从该单位参加1次和3次的志愿者中抽取5人进行访谈．

(1)、求该单位志愿者参加活动的人均次数；

(2)、这5人中参加1次和3次活动的志愿者各占多少人？

(3)、从这5人中随机抽取2人完成访谈问卷，求2人中恰有1名参加1次活动的志愿者的概率．

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18. 已知函数 $f (x) = {(\frac{1}{3})}^{x + 1}$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的单调性，并进行证明；

(2)、设 $g (x) = f (x) - 1 (x ≥ 2)$ ，求函数 $g (x)$ 的值域．

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19. 已知函数 $f (x) = l o g_{a} (1 + b x) \begin{array}{l} \end{array} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ， $f (1) = 1$ ， $f (3) = 2$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、若 $g (x)$ $= f (x) - f (- x)$ ，指出函数 $g (x)$ 的奇偶性，并证明．

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20. 为落实国家“精准扶贫”政策，某企业于2020年在其扶贫基地投入200万元研发资金，用于养殖业发展，并计划今后7年内在此基础上，每年投入的资金比上一年增长15%．

(1)、写出第 $x$ 年（2021年为第一年）该企业投入的资金数 $y$ （万元）与 $x$ 的函数关系式，并指出函数的定义域；

(2)、该企业从第几年开始（ $2021$ 年为第一年），每年投入的资金数将超过400万元？（参考数据： $l g 0.15 \approx - 0.824$ ， $l g 1.5 \approx 0.176$ ， $l g 0.115 \approx - 0.939$ ， $l g 1.15 \approx 0.061$ ， $l g 2 \approx 0.301$ ）

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甲的成绩	环数	7	8	9	10
甲的成绩	频数	5	5	5	5
乙的成绩	环数	7	8	9	10
乙的成绩	频数	6	4	4	6