北京昌平区2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-02-14 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知直线 $l ： \sqrt{3} x - y - 4 = 0$ ，则直线l的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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2. 已知 $A (2 ， - 3 ， - 1) ， B (- 6 ， 5 ， 3)$ ，则 $| \vec{A B} | =$ （）

A、 $4 \sqrt{6}$ B、 $2 \sqrt{33}$ C、12 D、14

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3. 在 $(2 + x)^{6}$ 的展开式中二项式系数最大的项是（）

A、第3项和第4项 B、第4项和第5项 C、第3项 D、第4项

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4. 设椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线交椭圆于A、B两点，如果 $| A B | = 8$ ，那么 $| A F_{2} | + | B F_{2} |$ 的值为（）

A、2 B、10 C、12 D、14

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5. 已知平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，设 $\vec{A B} = \vec{a} ， \vec{A D} = \vec{b} ， {\vec{A A}}_{1} = \vec{c}$ ，则 $\vec{D_{1} B} =$ （）

A、 $- \vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$ B、 $\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$ C、 $- \vec{a} + \vec{b} - \vec{c}$ D、 $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$

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6. 设a $\in$ R，则“a＝1”是“直线l₁：ax＋2y－1＝0与直线l₂：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，计划于202年2月4日（星期五）开幕，2月20日（星期日）闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项，其中七个大项分别为：滑雪、滑冰，雪车、雪撬，冰球、冰壶，冬季两项（越野滑雪射击比赛），现组委会将七个大项的门票各一张分给甲、乙，丙三所学校，如果要求一个学校4张，一个学校2张，一个学校1张，则共有不同的分法数为（）

A、 $A_{7}^{4} A_{3}^{2} A_{1}^{1}$ B、 $C_{7}^{4} C_{3}^{2} C_{1}^{2}$ C、 $A_{7}^{1} A_{6}^{2} A_{4}^{4} C_{3}^{3}$ D、 $C_{7}^{4} C_{3}^{2} C_{1}^{1} A_{3}^{3}$

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8. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， E为 $P A$ 中点， $P A = A D = 2 A B$ ，则直线 $B E$ 与 $P D$ 所成角的大小为（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{7 π}{12}$

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9. 直线 $3 x - 4 y = 0$ 与抛物线 $W ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 交于A，B两点，F为抛物线W的焦点．若 $| A B | = 5$ ，则 $△ A B F$ 的面积为（）

A、 $\frac{3}{8}$ B、 $\frac{27}{32}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{8}{3}$

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10. 已知正三棱锥 $P - A B C$ 的底面 $A B C$ 的边长为2，M是空间中任意一点，则 $\vec{M A} \cdot (\vec{M B} + \vec{M C})$ 的最小值为（）

A、 $- \frac{3}{2}$ B、-1 C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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二、填空题

11. 已知 $\vec{a} = (x ， - 2 ， 6)$ 是直线 $l_{1}$ 的方向向量， $\vec{b} = (1 ， y ， - 3)$ 是直线 $l_{2}$ 的方向向量．若直线 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，则 $x + y =$ ．

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12. 在空间直角坐标系中，已知点 $A (1 ， 0 ， 0) ， B (0 ， 1 ， 0) ， C (0 ， 0 ， 1)$ ，若点 $P (x ， 2 ， 1)$ 在平面 $A B C$ 内，则 $x =$ ．

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13. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线l过点 $(1 ， 1)$ 且与圆O交于A，B两点，当 $△ A O B$ 面积最大时，直线l的方程为．

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14. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，E为 $C D$ 的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足平面 $A A_{1} P ⊥$ 平面 $B B_{1} E$ ．给出下列四个结论：
① $△ A A_{1} P$ 的面积的最大值为 $\sqrt{5}$ ；
②满足使 $△ A A_{1} P$ 的面积为2的点P有且只有两个；
③点P可以是 $C C_{1}$ 的中点；
④线段 $A_{1} P$ 的最大值为3．
其中所有正确结论的序号是．

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15. 在 ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中所有的二项式系数之和为512，则 $n =$ ；展开式中常数项的值为．

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16. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{6} = 1$ 的渐近方程为；若抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点是双曲线C的右焦点，则 $p =$ ．

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三、解答题

17. 已知过点 $P (0 ， 5)$ 的直线l被圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 4 x - 12 y + 24 = 0$ 所截得的弦长为 $4 \sqrt{3}$ ．

(1)、写出圆C的标准方程及圆心坐标、半径；

(2)、求直线l的方程．

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18. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A D ∥ B C$ ， $P A = A B = B C = 2 A D = 2$ ．

(1)、求证： $A D / /$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求直线 $P B$ 和平面 $P C D$ 所成角的正弦值；

(3)、求二面角 $A - P D - C$ 的余弦值．

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19. 有7个人分成两排就座，第一排3人，第二排4人．

(1)、共有多少种不同的坐法？

(2)、如果甲和乙都在第二排，共有多少种不同的坐法？

(3)、如果甲和乙不能坐在每排的两端，共有多少种不同的坐法？

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20. 如图，在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M是 $B B_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $A_{1} D ⊥ A C_{1}$ ；

(2)、求证： $B D / /$ 平面 $A M C_{1}$ ；

(3)、求点 $A_{1}$ 到平面 $A M C_{1}$ 的距离．

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21. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0) ， O (0 ， 0) ， A (a ， 0) ， B (0 ， b)$ ，点M在线段 $A B$ 上，且 $\vec{B M} = 2 \vec{M A}$ ，直线 $O M$ 的斜率为 $\frac{1}{4}$ ．

(1)、求椭圆E的离心率；

(2)、若直线l与椭圆E交于C，D两点，弦 $C D$ 的中点为 $(- 2 ， 1)$ ，且 $| \vec{C D} | = \sqrt{10}$ ，求椭圆E的方程．

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