重庆市2022届高三上学期数学第五次质量检测试卷

试卷更新日期：2022-02-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3}$ ， $B = {a - b | a \in A ， b \in A}$ ，则集合B中元素个数为（）

A、5 B、6 C、8 D、9

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2. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的一个焦点坐标为 $(2 ， 0)$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、2 C、5 D、9

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3. 已知复数z满足 $(1 + i) \cdot z + i = 3$ ．则 $| z | =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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4. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{7} = 21$ ， $a_{2} = 5$ ，则公差为（）

A、-3 B、-1 C、1 D、3

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5. 将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人、至多2人，则不同的安排方法有（）

A、90种 B、120种 C、150种 D、180种

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6. 已知 $α \in (0 ， π)$ ， $t a n 2 α = \frac{s i n α}{c o s α + 3}$ ，则 $c o s α =$ （）

A、 $- \frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{3}{5}$

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7. 地球静止同步通信卫星是当今信息时代的大量信息传递主要实现工具，例如我国航天事业的重要成果“北斗三号全球卫星导航系统”，它为全球用户提供了全天候、全天时、高精度的定位、导航和授时服务，是国家重要空间基础设施．地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，将地球看作一个球，卫星信号像一条条直线一样发射到达球面，所覆盖的范围即为一个球冠，称此球冠的表面积为卫星信号的覆盖面积．球冠，即球面被平面所截得的一部分，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．设球面半径为R，球冠的高为h，则球冠的表面积为 $S = 2 π R h$ ．已知一颗地球静止同步通信卫星的信号覆盖面积与地球表面积之比为m，则它距地球表面的最近距离与地球半径之比为（）

A、 $\frac{m}{1 - m}$ B、 $\frac{1}{1 - m}$ C、 $\frac{1}{1 - 2 m}$ D、 $\frac{2 m}{1 - 2 m}$

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8. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，上顶点为A，抛物线E的顶点为坐标原点，焦点为 $F_{2}$ ，若直线 $F_{1} A$ 与抛物线E交于P，Q两点，且 $| P A | + | Q A | = 4 a$ ，则椭圆C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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二、多选题

9. 已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $a + b = 1$ ，则（）

A、 $a b \geq \frac{1}{4}$ B、 $a^{2} + b^{2} \geq \frac{1}{2}$ C、 $2^{a} + 2^{b} \geq 2 \sqrt{2}$ D、 $a + l n b > 0$

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10. 已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中真命题是（）

A、若 $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ， $m ∥ n$ ，则 $α ∥ β$ B、若 $m ∥ α$ ， $n ∥ β$ ， $α ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ C、若 $α ∥ β$ ， $m ⊥ α$ ， $n ⊥ β$ ，则 $m ∥ n$ D、若 $m ∥ n$ ， $α ⊥ β$ ， $n ∥ α$ ，则 $m ⊥ β$

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11. 函数 $f (x) = s i n (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 内有唯一零点的充分条件是（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为π B、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 内单调 C、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 内有且仅有一条对称轴 D、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{π}{2})$ 内的值域为 $(- 1 ， 1]$

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12. 已知平面内两个给定的向量 $a$ ， $b$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，则使得 $| \vec{a} - \vec{c} | = | \vec{b} - \vec{c} | = 1$ 的 $\vec{c}$ 可能有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、无数个

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三、填空题

13. 曲线 $f (x) = x^{2} - l n x$ 在点 $(1 ， 1)$ 处的切线方程为．

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14. 已知随机变量X的概率分布为 $P (X = n) = \frac{a}{n (n + 1)} (n = 1 ， 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， 10)$ ，则实数 $a =$ ．

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15. 已知定义在R上的函数 $f (x)$ 不是常值函数，且同时满足：① $f (2 + x) = f (2 - x)$ ；②对任意 $x_{1} \in R$ ，均存在 $x_{2} \in R$ 使得 $f (x_{1}) = 2 f (x_{2})$ 成立；则函数 $f (x) =$ ．（写出一个符合条件的答案即可）

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16. 在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC， $△ A B C$ 是边长为2的正三角形， $P A = 4$ ， Q为三棱锥 $P - A B C$ 外接球球面上一动点，则点Q到平面PAB的距离的最大值为

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， $(c + 2 b) c o s A + a c o s C = 0$ ，点D为边BC上一点，且 $A D ⊥ A C$ ．

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $A C = \sqrt{2} A D$ ，求 $s i n B$ 的值．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1} = 2 S_{n} + 1$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、证明：数列 ${S_{n} + 1}$ 为等比数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n + 1}}{S_{n} S_{n + 1}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $T_{n} < 1$ ．

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19. 如图，在圆锥PO中，边长为 $2 \sqrt{3}$ 的正△ $A B C$ 内接于圆O，AD为圆O的直径，E为线段PD的中点．

(1)、求证：直线 $P O / /$ 平面BCE；

(2)、若 $A E ⊥ P D$ ，求直线AP与平面ABE所成角的正弦值．

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20. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线斜率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，且双曲线C经过点 $M (2 ， 1)$ ．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、斜率为 $- \frac{1}{2}$ 的直线l与双曲线C交于异于M的不同两点A、B，直线MA、MB的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，若 $k_{1} + k_{2} = 1$ ，求直线l的方程．

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21. 在“十三五”期间，我国的扶贫工作进入了“精准扶贫”阶段，到2020年底，全国830个贫困县全部脱贫摘帽，最后4335万贫困人口全部脱贫，这是我国脱贫攻坚史上的一大壮举．重庆市奉节县作为国家贫困县之一，于2019年4月顺利脱贫摘帽，因地制宜发展特色产业，是奉节脱贫攻坚的重要抓手．奉节县规划发展了以高山烟叶、药材、反季节蔬菜；中山油橄榄、养殖；低山脐橙等为主的产业格局，各类特色农产品已经成为了当地村民的摇钱树．尤其是奉节脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜适度，汁多爽口，余味清香”而闻名．为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运输、改良等各方面给予大力支持．奉节县种植的某品种脐橙果实按果径X（单位：mm）的大小分级，其中 $X \in (70 ， 90]$ 为一级果， $X \in (90 ， 110]$ 为特级果，一级果与特级果统称为优品．现采摘了一大批此品种脐橙果实，从中随机抽取1000个测量果径，得到频率分布直方图如下：
参考数据：若随机变量X服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < X \leq μ + σ) \approx 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X \leq μ + 2 σ) \approx 0.9545$ ， $P (μ - 3 σ < X \leq μ + 3 σ) \leq 0.9973$ ．

(1)、由频率分布直方图可认为，该品种脐橙果实的果径X服从正态分布 $N (μ ， σ^{2})$ ，其中μ近似为样本平均数 $\bar{x}$ ， $σ$ 近似为样本标准差s，已知样本的方差的近似值为100．若从这批脐橙果实中任取一个，求取到的果实为优品的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）

(2)、这批采摘的脐橙按2个特级果和n（ $n \geq 2$ ，且 $n \in N^{*}$ ）个一级果为一箱的规格进行包装，再经过质检方可进入市场．质检员质检时从每箱中随机取出两个果实进行检验，若取到的两个果实等级相同，则该箱脐橙记为“同”，否则该箱脐橙记为“异”．
①试用含n的代数式表示抽检的某箱脐橙被记为“异”的概率p；
②设抽检的5箱脐橙中恰有3箱被记为“异”的概率为 $f (p)$ ，求函数 $f (p)$ 的最大值，及取最大值时n的值．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x - m} - l n (x + e) - e$ （e为自然对数的底数）．

(1)、当 $m = 1$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - m$ 有且仅有两个零点，求实数m的取值范围．

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