浙江省普通高中强基联盟2022届高三上学期数学统测试卷

试卷更新日期：2022-02-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {1 ， 2 ， 3 ， 4}$ ， $B = {y | y = l o g_{2} (x + 1) ， x \in A}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${1 ， 2}$ B、 ${1 ， 3}$ C、 ${2 ， 4}$ D、 $\emptyset$

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2. 已知 $a \in R$ ，若复数 $z = a^{2} + a + a i$ （ $i$ 是虚数单位）是纯虚数，则 $a =$ （）

A、0 B、1 C、-1 D、2

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3. 已知实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y \geq 0 ， \\ x + 2 y \leq 4 ， \\ x - 2 y \leq 2 ， \end{array}$ ，则 $z = 2 x - 3 y$ （）

A、有最小值 $- \frac{4}{3}$ ，最大值2 B、有最小值 $- \frac{4}{3}$ ，最大值 $\frac{9}{2}$ C、有最小值2，最大值 $\frac{9}{2}$ D、有最小值2，无最大值

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4. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

A、 $8 \sqrt{3}$ B、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$ C、 $8 \sqrt{5}$ D、 $\frac{8 \sqrt{5}}{3}$

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5. 已知 $x \in [e ， + \infty)$ ，则“ $k > \frac{1}{e}$ ”是“ $k x > l n x$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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6. 已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为2，点E，F在平面A₁B₁C₁D₁内，若 $| A E | = \sqrt{5}$ ， $A C ⊥ D F$ ，则下列选项中错误的是（）

A、点E的轨迹是圆的一部分 B、点F的轨迹是一条线段 C、 $| E F |$ 的最小值为 $\sqrt{2} - 1$ D、AE与平面 $A_{1} B D$ 所成角的正弦值的最大值为 $\frac{\sqrt{15} + \sqrt{30}}{15}$

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7. 已知函数 $f (x) = x^{3} ， g (x) = c o s x$ ，则图像为如图的函数可能是（）

A、 $y = f (x) g (x)$ B、 $y = \frac{f (x)}{g (x)}$ C、 $y = f (x) + g (x) - 1$ D、 $y = f (x) - g (x) + 1$

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8. 设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上任意一点，且点P在第一象限，M是线段PF上的点，若 $P M = 3 M F$ ，则直线 $O M$ 的斜率的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$

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9. 已知正实数 $a$ ， $b$ 满足 $a + b = 1$ ，则 $\sqrt{a b} - b$ 的最大值是（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2} - 1}{2}$

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = \frac{1}{2} ， a_{n + 1} = e^{a_{n} - 1} (n \in N_{+})$ ，其中 $e = 2.71828 ⋯$ ，记 $T_{n}$ 表示数列 ${a_{n}}$ 前n项的乘积，则（）

A、 $a_{100} < \frac{1}{2}$ B、 $a_{100} > 1$ C、 $T_{99} \in (0 ， \frac{1}{10000})$ D、 $T_{99} \in (\frac{1}{10000} ， \frac{1}{100})$

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二、填空题

11. 我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.记大正方形的面积为 $S_{1}$ ，小正方形的面积为 $S_{2}$ ，若 $S_{1} = 25 S_{2}$ ，则 $t a n ∠ A B E =$ .

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12. 已知F是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的一个焦点，若直线 $y = k x$ 与椭圆相交于A，B两点，且 $∠ A F B = 135 °$ ，记椭圆的离心率为e，则 $e^{2}$ 的取值范围是.

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13. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ， $s i n θ = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = 4$ ，向量 $\vec{c} - \vec{a} ， \vec{c} - \vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{2}$ ， $| \vec{c} - \vec{a} | = 2 \sqrt{3}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c}$ 的最大值是.

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14. 已知 $(1 - 3 x)^{n}$ 展开式中第三项的二项式系数是10，则 $n =$ ，展开式中系数的绝对值最大的项是.

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15. 在 $△ A B C$ 中， $A D$ 为 $∠ B A C$ 的平分线， $A B = 5 ， A C = 3 ， c o s ∠ A B C = \frac{13}{14}$ ，则 $B C =$ ，若 $A B < B C$ ，则 $A D =$ .

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16. 袋中有1个白球，2个黄球，2个红球，这5个小球除颜色外完全相同，每次不放回的从中取出1个球，取出白球即停，记X为取出的球中黄球数与红球数之差，则 $P (X = 0) =$ ， $E (X) =$ .

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17. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} l n x ， x \geq 1 ， \\ \frac{1}{3} (x + 5) ， x < 1 ， \end{array}$ 若方程 $f (x) = a$ 有两个实数解，则a的取值范围是；若两解分别为 $x_{1} ， x_{2}$ 且 $x_{2} > x_{1}$ ，则 $x_{1} - x_{2}$ 的最大值是.

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三、解答题

18. 设函数 $f (x) = s i n x - \sqrt{3} c o s x (x \in R)$ .

(1)、求函数 $y = {[f (x + \frac{π}{4})]}^{2}$ 的最小正周期；

(2)、求函数 $y = f (x) f (x + \frac{π}{2})$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上的最小值.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B / / C D$ ， $A D = \sqrt{10}$ ， $C D = 2 A B = 2$ ， $P A = P C = 3 \sqrt{2}$ ， $∠ P C D = \frac{π}{4}$ ， E为棱 $P C$ 的中点.

(1)、证明：BE $/ /$ 平面PAD.

(2)、若平面 $P B C ∩$ 平面 $P A D = m$ ，求直线m与平面 $P D C$ 所成角的正弦值.

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20. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 4 ， 2 S_{n} = a_{n + 1} + 2 n - 4 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式.

(2)、若 $b_{n} = \sqrt{1 + \frac{1}{{[l o g_{3} (a_{n} - 1)]}^{2}} + \frac{1}{{[\log_{3} (a_{n + 1} - 1)]}^{2}}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，证明： $\frac{3}{2} \leq T_{n} < n + 1$ .

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21. 如图，已知椭圆 $C_{1} ： \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ ，椭圆 $C_{2} ： \frac{y^{2}}{9} + \frac{x^{2}}{4} = 1$ ， $A (- 2 ， 0)$ 、 $B (2 ， 0)$ .P为椭圆 $C_{2}$ 上动点且在第一象限，直线PA、PB分别交椭圆 $C_{1}$ 于E、F两点，连接EF交 $x$ 轴于 $Q$ 点.过 $B$ 点作BH交椭圆 $C_{1}$ 于G，且 $B H / / P A$ .

(1)、证明： $k_{B F} \cdot k_{B G}$ 为定值；

(2)、证明直线 $G F$ 过定点，并求出该定点；

(3)、若记 $P$ 、 $Q$ 两点的横坐标分别为 $x_{P}$ 、 $x_{Q}$ ，证明： $x_{P} x_{Q}$ 为定值.

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22. 已知 $- 1 \leq a \leq 1$ ，函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} - a s i n x - 1$ ， $g (x) = f (x) + f (- x)$ .

(1)、讨论函数 $g (x)$ 的单调性；

(2)、设 $f' (x)$ 是 $f (x)$ 的导数.证明：
（i） $f (x)$ 在 $R$ 上单调递增；
（ii）当 $x \in [- \frac{π}{3} ， \frac{π}{3}]$ 时，若 $| f' (x) | \leq M$ ，则 $| f (x) | \leq M$ .

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