四川省眉山市2021-2022学年高三上学期文数第一次诊断试卷

试卷更新日期：2022-02-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $M = {x | (x - 1) (x - 5) < 0}$ ， $N = {x | \frac{1}{2} \leq x \leq 3}$ ，则 $M ∩ N$ 等于（）

A、 ${x | \frac{1}{2} \leq x < 1}$ B、 ${x | 1 < x \leq 3}$ C、 ${x | 1 < x < 5}$ D、 ${x | \frac{1}{2} \leq x < 5}$

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2. i是虚数单位，若 $3 + a i = \frac{2 + b i}{i} (a ， b \in R)$ ，则 $a + b$ 等于（）

A、-5 B、-1 C、1 D、5

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3. 某高中学校学生人数和近视情况分别如图①和图②所示.为了解该学校学生近视形成原因，在近视的学生中按年级用分层抽样的方法抽取部分学生进行问卷调查，已知抽取到的高中一年级的学生36人，则抽取到的高三学生数为（）

A、32 B、45 C、64 D、90

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4. 函数 $f (x) = x - 2 l n x + 1$ 的单调递减区间为（）

A、 $(0 ， 2)$ B、 $(0 ， e)$ C、 $(\frac{1}{e} ， + \infty)$ D、 $(2 ， + \infty)$

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5. 如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）

A、72 B、64 C、56 D、32

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6. 设 $x \in R$ ，则“ $\frac{2 x - 1}{x} > 1$ ”是“ $x > 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 若 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $s i n 2 α = c o s^{2} α$ ，则 $c o s 2 α$ 的值为（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $\frac{3}{5}$

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8. 执行如图所示的程序框图，输出 $S =$ （）

A、19 B、24 C、26 D、33

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9. 已知 $A$ ， $F$ 分别是椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点和右焦点， $P$ 是椭圆上一点，直线 $A P$ 与直线 $l ： x = \frac{a^{2}}{c}$ 相交于点 $Q$ .且 $△ A F Q$ 是顶角为120°的等腰三角形，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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10. 已知函数 $f (x) = e^{| x |} + 2 x^{2}$ .若 $a = f (0 . 6^{0.7})$ ， $b = f (l o g_{2} \frac{1}{3})$ ， $c = f (l o g_{4} 5)$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < c < a$

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11. 已知 $F$ 是抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点，过点 $F$ 的直线 $l$ 与抛物线交于 $P$ ， $Q$ 两点，直线 $l$ 与抛物线的准线 $l_{1}$ 交于点 $M$ ，若 $\vec{P M} = 2 \vec{F P}$ ，则 $\frac{| F Q |}{| F P |} =$ （）

A、3 B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{3}$

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{x}{e l n x} ， x > 1 ， \\ 5 - 2 x - x^{2} ， x \leq 1 ， \end{array}$ 若函数 $y = [f (x)]^{2} + (2 - 4 a) f (x) + 1$ 恰有5个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{9}{8} ， \frac{49}{24})$ B、 $(1 ， \frac{49}{24})$ C、 $(1 ， \frac{9}{8}]$ D、 $[\frac{9}{8} ， + \infty)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (t ， - 3)$ ，若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + \vec{b})$ ，则实数 $t$ 的值为.

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14. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x - y - 2 \leq 0 ， \\ 2 x + y \leq 0 ， \\ x + 1 \geq 0 ， \end{array}$ 则 $z = 2 x - y$ 的最小值为.

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15. 关于函数 $f (x) = s i n 2 x + c o s 2 x$ ，给出下列四个结论：
① $π$ 是 $f (x)$ 的最小正周期；
② $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 的最小值是 $- 1$ ；
③ $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上是单调递增函数；
④ $x = \frac{π}{8}$ 是 $f (x)$ 图象的一条对称轴.
其中所有正确结论的序号是.

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16. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $P A$ 垂直于 $⊙ O$ 所在的平面， $C$ 是圆周上不同于 $A$ ， $B$ 的任意一点， $P A = 2$ ，三棱锥 $P - A B C$ 体积的最大值为 $\frac{8}{3}$ ，则当 $△ P B C$ 的面积最大时，线段 $A C$ 的长度为.

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三、解答题

17. 第七次全国人口普查是对中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调查.某地区通过摸底了解到，某小区户数有1000户，在选择自主填报或人户登记的户数与户主年龄段（45岁以上和45岁及以下）分布如下2×2列联表所示：

人户登记
自主填报
合计
户主45岁以上
200
户主45岁及以下
240
640
合计
1000
附表及公式：
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
$k_{0}$
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
其中 $K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

(1)、将题中列联表补充完整；通过计算判断，有没有95%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系?

(2)、根据（1）中列联表的数据，在自主填报的户数中按照户主年龄段用分层抽样的方法抽取了6户.若从这6户中随机抽取2户进行进一步复核，记所抽取的2户中恰好有1户的户主年龄在45岁以上的概率.

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18. 如图，已知 $O A = 10$ ，点 $B$ 是以 $O$ 为圆心，5为半径的半圆上一动点.

(1)、当 $∠ A O B = 120 °$ 时，求线段 $A B$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 为正三角形，求四边形 $O A C B$ 面积的最大值.

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19. 若等比数列 ${a_{n}}$ 的各项为正，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{2} = 6$ ， $a_{3} = 8$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 ${a_{n} b_{n}}$ 是以1为首项，1为公差的等差数列，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为梯形， $A B / / D C$ ，且 $A P = P D = C D = 2 A B = 2 \sqrt{3}$ ， $∠ A P D = ∠ A D C = 60 °$ . $A C$ 交 $B D$ 于点 $F$ ， $G$ 为 $△ P A D$ 的重心.

(1)、求证： $G F / /$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求三棱锥 $B - G F C$ 的体积.

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21. 已知函数 $f (x) = a x l n x + x$ .

(1)、函数 $f (x)$ 是否存在极小值?若存在，求出 $a$ 的取值范围，若不存在，说明理由；

(2)、若 $0 < a \leq 1$ ，求证： $f (x) < e^{x} - x^{2} + 1$

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22. 平面直角坐标系中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 c o s φ ， \\ y = s i n φ \end{array}$ （ $ϕ$ 为参数）.以坐标原点为极点， $x$ 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，射线 $l$ 的极坐标方程为 $θ = α (0 < α < \frac{π}{2})$ ，将射线 $l$ 绕极点逆时针旋转 $\frac{π}{4}$ 后得到射线 $l_{1}$ .设 $l$ 与曲线 $C$ 相交于点 $A$ ， $l_{1}$ 与曲线 $C$ 交于点 $B$ .

(1)、求曲线 $C$ 的极坐标方程；

(2)、若 $2 \sqrt{| O A |^{2} + | O B |^{2}} = \sqrt{5} | O A | \cdot | O B |$ ，求 $α$ 的值.

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x - 4 | + | x + 1 |$ .

(1)、解不等式 $f (x) \leq 7 - x$ ；

(2)、设 $f (x)$ 的最小值为 $M$ ，正实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a + b = M$ ，求证： $\frac{a^{2} + 1}{a} + \frac{b^{2}}{b + 1} \geq 3$ .

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	人户登记	自主填报	合计
户主45岁以上		200
户主45岁及以下	240		640
合计			1000

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635