四川省凉山州2021-2022学年高三上学期理数第一次诊断性检测试卷

试卷更新日期：2022-02-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2 ， - 1 ， 1 ， 2} ， B = {x ∣ x^{2} - x - 2 ⩾ 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 1 ， 2}$ B、 ${- 2 ， - 1 ， 2}$ C、 ${- 2 ， 1 ， 2}$ D、 ${- 2 ， - 1 ， 1}$

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2. 设A， $B$ 是两个事件，且 $B$ 发生A必定发生， $0 < P (A) < 1 ， 0 < P (B) < 1$ ，给出下列各式，其中正确的是（）

A、 $P (A + B) = P (B)$ B、 $P (B | A) = \frac{P (A)}{P (B)}$ C、 $P (A | B) = 1$ D、 $P (A B) = P (A)$

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3. i为虚数单位，复数 $z = \frac{2 + i}{1 - 2 i}$ ，复数z的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、i B、 $- i$ C、-1 D、1

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4. 某网店对今年11月11日9时到15时的销售情况进行统计，销售额频率分步直方图如图所示，已知11时到13时的销售为5万元.则9时到11时的销售额为（）

A、1.5万元 B、2万元 C、2.5万元 D、3万元

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5. $△ A B C$ 中， $∠ A = \frac{π}{3}$ ， $A C = 2$ ， $B C = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{A B}$ 在 $\vec{A C}$ 方向上的投影为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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6. 设实数x，y满足 ${\begin{array}{l} x - 3 y + 2 \leq 0 \\ x \geq 1 \\ y \leq 3 \end{array}$ ，则目标函数 $z = x - 2 y$ 的最大值是（）

A、-1 B、1 C、-6 D、6

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7. 据统计，第x年某湿地公园越冬的白鹭数量y（只）近似满足 $y = k l o g_{3} (x + 1)$ ，观测发现第2年有越冬白鹭1000只，估计第5年有越冬白鹭 $(l n 2 \approx 0.7 ， l n 3 \approx 1.1)$ （）

A、1530只 B、1630只 C、1830只 D、1930只

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8. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的离心率 $e = \frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，过其焦点 $F$ 作双曲线 $C$ 的一条渐近线的垂线，垂足为 $M$ ，直线 $M F$ 交另一条渐近线于 $N$ ，则 $| M N | =$ （）

A、3 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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9. 如图， $A$ 是共享单车前轮外边沿上的一点，前轮半径为 $0.25 m$ ，若单车向右行进 $7.33 m$ 时（车轮无滑动），下列描述正确的是 $(π \approx 3.14)$ （）

A、点 $A$ 在前轮的左下位置，距离地面约为 $0.125 m$ B、点 $A$ 在前轮的右下位置，距离地面约为 $0.125 m$ C、点 $A$ 在前轮的左上位置，距离地面约为 $0.375 m$ D、点 $A$ 在前轮的右上位置，距离地面约为 $0.375 m$

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10. 正项等比数列 ${a_{n}}$ ，若 $a_{5} = 1$ ，则“公比 $q = 1$ ”是“ $a_{3} + a_{7}$ 的最小值为2”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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11. 已知半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体的棱长为 $2$ ，则半球的表面积为（）

A、10π B、12π C、15π D、18π

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12. 已知定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 满足下列三个条件：①当 $- 1 ≤ x ≤ 0$ 时， $f (x) = 2 x - e^{x} + \frac{1}{e^{x}}$ ；② $y = f (x + 1)$ 的图象关于 $y$ 轴对称；③ $\forall x \in R$ ，都有 $f (x + 2) = f (2 - x)$ .则 $f (\frac{2}{3})$ 、 $f (\frac{5}{2})$ 、 $f (\frac{11}{3})$ 的大小关系是（）

A、 $f (\frac{2}{3}) > f (\frac{5}{2}) > f (\frac{11}{3})$ B、 $f (\frac{2}{3}) > f (\frac{11}{3}) > f (\frac{5}{2})$ C、 $f (\frac{5}{2}) > f (\frac{2}{3}) > f (\frac{11}{3})$ D、 $f (\frac{5}{2}) > f (\frac{11}{3}) > f (\frac{2}{3})$

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二、填空题

13. ${(x - \frac{2}{x})}^{7}$ 的展开式中 $x$ 的系数为.

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14. 已知 $△ A B C$ 的面积是3， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = 6 \sqrt{3}$ ，则 $\vec{B A}$ 与 $\vec{A C}$ 的夹角 $θ =$ .

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15. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率 $e = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，点 $P$ 在椭圆上， $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}} = 0$ ，且△ $P F_{1} F_{2}$ 的面积为1，则右焦点 $F_{2}$ 的坐标为.

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16. 关于函数 $f (x) = c o s (ω x - \frac{π}{6}) - \sqrt{3} s i n (ω x + \frac{5 π}{6}) (ω > 0)$ 有如下四个命题：①若 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ ，则 $ω = 2$ ；②若 $ω = 2$ ，则 $f (x)$ 在区间 $[\frac{5 π}{6} ， \frac{7 π}{6}]$ 上单调递增；③当 $x = \frac{(4 k + 1) π}{2 ω} (k \in Z)$ 时， $f (x)$ 取得极大值；④若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上恰有一个极值点和一个零点，则 $\frac{3}{2} < ω < 2$ .
其中所有真命题的序号是.

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三、解答题

17. 已知正项数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $S_{n}$ 和 $T_{n}$ 分别表示 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和与前 $n$ 项积，从① $S_{n} = 2 a_{n} + t$ ， ② $S_{n} = t (2^{n} - 1)$ ， ③ $T_{n}^{2} = 2^{n^{2} - n}$ ，中选取一个作为条件，解答以下问题（多选不得分）.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${l o g_{2} a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $H_{n}$ .

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18. 某数学课题组针对高三学生掌握基本知识点的单位值 $x$ 和“一诊”基础题目得分值 $y$ 进行统计分析，所得统计数据如表所示：
$x$
35
55
75
95
$y$
20
30
35
55
（参考公式： $b = \frac{\sum_{i = 1} (x_{i} - x) (y_{i} - y)}{\sum_{i = 1} (x_{i} - x)^{2}} = \frac{\sum_{i = 1} x_{i} y_{i} - n \bar{x y}}{\sum_{i = 1} x_{i}^{2} - n x^{2}}$ ， $a = y - b x$ . $)$

(1)、请根据如表提供的数据，用最小二乘法求出 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程 $y = b x + a$ ；

(2)、若 $| y - y | ⩾ 15$ ，则称 $y$ 为异常值，现有8名学生的成绩，其中有3个异常值，现从8个成绩中逐一抽取，每次抽取后不放回，求至多抽取4次就能将3个异常值全部找出来的概率.

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19. 如图1是 $△ A B C$ ， $A C = 2 B C = 6$ ， $∠ A C B = \frac{π}{2}$ ， $D$ ， $E$ 分别是边 $A C$ ， $A B$ 上两点，且 $\overset{⇀}{B C} = 3 \overset{⇀}{E D}$ ，将 $△ A E D$ 沿 $E D$ 折起使得 $∠ A D C = \frac{π}{3}$ ，如图2.

(1)、证明：图2中， $A C ⊥$ 平面 $A E D$ ；

(2)、图2中，求二面角 $C - A B - E$ 的正切值.

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20. 已知抛物线 $T ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ，直线 $y = k x + 1$ 交 $T$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，且当 $k = 1$ 时， $| A B | = 8$ .

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、如图，抛物线 $T$ 在 $A$ 、 $B$ 两点处的切线分别与 $y$ 轴交于 $C$ 、 $D$ ， $A C$ 和 $B D$ 交于 $G$ ， $\vec{G C} + \vec{G D} + \vec{G E} = 0$ .证明：存在实数 $λ$ ，使得 $\vec{G E} = λ \vec{A B}$ .

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21. 已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{1}{2} a x^{2} - x - 1$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $[0 ， + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上存在极值点 $x_{0}$ ，证明： $1 - \frac{1}{a} < \frac{x_{0}}{2} < a - 1$ .

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，圆 $C_{1}$ 的参数方程为： ${\begin{array}{l} x = 1 + c o s α \\ y = s i n α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)、求圆 $C_{1}$ 的极坐标方程；

(2)、椭圆 $C_{2} ： \frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ ，射线 $O M ： θ = \frac{π}{6} (ρ \geq 0)$ 与圆 $C_{1}$ 的交点为O，P，与椭圆 $C_{2}$ 的交点为Q，求线段 $P Q$ 的长.

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | - | x + 1 |$ .

(1)、求不等式 $f (x) \leq 0$ 的解集；

(2)、若 $a b > 0$ ，证明： $a b f (x) \leq \frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{a}$ .

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$x$	35	55	75	95
$y$	20	30	35	55