江苏省盐城市、南京市2022届高三上学期数学1月第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2022-02-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $M = {y ∣ y = s i n x ， x \in R}$ ， $N = {y ∣ y = 2^{x} ， x \in R}$ ，则 $M ∩ N =$ （）

A、 $[- 1 ， + \infty)$ B、 $[- 1 ， 0)$ C、 $[0 ， 1]$ D、 $(0 ， 1]$

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2. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中，公比为 $q$ .已知 $a_{1} = 1$ ，则 $0 < q < 1$ 是数列 ${a_{n}}$ 单调递减的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分又不必要

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3. 某中学高三（1）班有50名学生，在一次高三模拟考试中，经统计得：数学成绩 $X \sim N (110 ， 100)$ ，则估计该班数学得分大于120分的学生人数为（）（参考数据： $P (| X - μ | < σ) \approx 0.68 ， P (| X - μ | < 2 σ) \approx 0.95$ ）

A、16 B、10 C、8 D、2

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4. 若 $f (α) = c o s α + i s i n α$ （为虚数单位），则 $[f (α)]^{2} =$ （）

A、 $f (α)$ B、 $f (2 α)$ C、 $2 f (α)$ D、 $f (α^{2})$

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5. 已知直线 $\sqrt{2} x + y + a = 0$ 与 $⊙ C ： x^{2} + (y - 1)^{2} = 4$ 相交于 $A ､ B$ 两点，且 $△ A B C$ 为等边三角形，则实数 $a =$ （）

A、-4或2 B、-2或4 C、 $- 1 \pm \sqrt{3}$ D、 $- 1 \pm \sqrt{6}$

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6. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设 $A (1 ， 0) ， B (3 ， 4)$ ，向量 $\vec{O C} = x \vec{O A} + y \vec{O B} ， x + y = 6$ ，则 $| \vec{A C} |$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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7. 已知 $α + β = \frac{π}{4} (α > 0 ， β > 0)$ ，则 $t a n α + t a n β$ 的最小值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $- 2 - 2 \sqrt{2}$ D、 $- 2 + 2 \sqrt{2}$

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8. 已知 $f (x) = {\begin{array}{l} e^{x - 4} ， x \leq 4 \\ (x - 16)^{2} - 143 ， x > 4 \end{array}$ ，则当 $x \geq 0$ 时， $f (2^{x})$ 与 $f (x^{2})$ 的大小关系是（）

A、 $f (2^{x}) \leq f (x^{2})$ B、 $f (2^{x}) \geq f (x^{2})$ C、 $f (2^{x}) = f (x^{2})$ D、不确定

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9. 若数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = (- 1)^{n - 1}$ ，记在数列 ${a_{n}}$ 的前 $n + 2 (n \in N^{*})$ 项中任取两项都是正数的概率为 $P_{n}$ ，则（）

A、 $P_{1} = \frac{1}{3}$ B、 $P_{2 n} < P_{2 n + 2}$ C、 $P_{2 n - 1} < P_{2 n}$ D、 $P_{2 n - 1} + P_{2 n} < P_{2 n + 1} + P_{2 n + 2}$ .

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二、多选题

10. 若函数 $f (x) = c o s 2 x + s i n x$ ，则关于 $f (x)$ 的性质说法正确的有（）

A、偶函数 B、最小正周期为 $π$ C、既有最大值也有最小值 D、有无数个零点

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11. 若椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1} ､ F_{2}$ ，则下列 $b$ 的值，能使以 $F_{1} F_{2}$ 为直径的圆与椭圆 $C$ 有公共点的有（）

A、 $b = \sqrt{2}$ B、 $b = \sqrt{3}$ C、 $b = 2$ D、 $b = \sqrt{5}$

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12. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知 $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 为等腰梯形， $A D$ $∥$ $B C ， A B = A D = C D = 1$ ， $B C = P A = 2$ ，记四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球为球 $O$ ，平面 $P A D$ 与平面 $P B C$ 的交线为 $l ， B C$ 的中点为 $E$ ，则（）

A、 $l$ $∥$ $B C$ B、 $A B ⊥ P C$ C、平面 $P D E ⊥$ 平面 $P A D$ D、 $l$ 被球 $O$ 截得的弦长为1

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三、填空题

13. 若 $f (x) = (x + 3)^{5} + (x + m)^{5}$ 是奇函数，则 $m =$ .

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14. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ .若 $a = 3 b$ ，则 $c o s B$ 的最小值是.

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15. 计算机是二十世纪最伟大的发明之一，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算处理时，使用的是二进制.一个十进制数 $n (n \in N^{*})$ 可以表示成二进制数 $(a_{0} a_{1} a_{2} {⋯_{a})}_{2} ， k \in N$ ，则 $n = a_{0} \cdot 2^{k} + a_{1} \cdot 2^{k - 1} + a_{2} \cdot 2^{k - 2} + ⋯ + a_{k} \cdot 2^{0}$ ，其中 $a_{0} = 1$ ，当 $i ⩾ 1$ 时 $a_{i} \in {0 ， 1}$ ， .若记 $a_{0} ， a_{1} ， a_{2} ， ⋯ ， a_{k}$ 中1的个数为 $f (n)$ ，则满足 $k = 6 ， f (n) = 3$ 的 $n$ 的个数为.

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16. 已知：若函数 $f (x) ， g (x)$ 在 $R$ 上可导， $f (x) = g (x)$ ，则 $f' (x) = g' (x)$ .又英国数学家泰勒发现了一个恒等式 $e^{2 x} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + ⋯ + a_{n} x^{n} + ⋯$ ，则 $a_{0} =$ ， $\sum_{n = 1}^{10} \frac{a_{n + 1}}{n a_{n}} =$ .

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四、解答题

17. 从① $s i n D = s i n A$ ；② $S_{△ A B C} = 3 S_{△ B C D}$ ；③ $\vec{D B} \cdot \vec{D C} = - 4$ 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答.
已知点 $D$ 在 $△ A B C$ 内， $c o s A > c o s D ， A B = 6 ， A C = B D = 4 ， C D = 2$ ，若_______，求 $△ A B C$ 的面积.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2 n + 4$ ，数列 ${b_{n}}$ 的首项为 $b_{1} = 2$ .

(1)、若 ${b_{n}}$ 是公差为3的等差数列，求证： ${a_{b_{n}}}$ 也是等差数列；

(2)、若 ${a_{b_{n}}}$ 是公比为2的等比数列，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和.

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19. 佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：
年度
2018
2019
2020
2021
年度序号x
1
2
3
4
不戴头盔人数y
1250
1050
1000
900
参考公式： $b = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n x y}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n x^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - x) (y_{i} - y)}{\sum_{i = 1}^{n} {(_{x} - x)}^{2}} ， a = y - b x$
$P (K^{2} ⩾ k)$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
$k$
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
$\begin{matrix} K^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} \end{matrix}$ 其中 $n = a + b + c + d$

(1)、请利用所给数据求不戴头盔人数 $y$ 与年度序号 $x$ 之间的回归直线方程 $y = b x + a$ ，并估算该路口2022年不戴头盔的人数；

(2)、交警统计2018~2021年通过该路口的开电瓶车出事故的50人，分析不戴头盔行为与事故是否伤亡的关系，得到下表，能否有95%的把握认为不戴头盔行为与事故伤亡有关？

不戴头盔
就头盔
伤亡
7
3
不伤亡
13
27

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20. 在三棱柱中 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 13 ， A B = 8 ， B C = 6 ， A B ⊥ B C ， A B_{1} = B_{1} C ， D$ 为 $A C$ 中点，平面 $A B_{1} C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、求证： $B_{1} D ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、求直线 $C_{1} D$ 与平面 $A B_{1} C$ 所成角的正弦值.

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21. 设双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ， b > 0)$ 的右顶点为 $A$ ，虚轴长为 $\sqrt{2}$ ，两准线间的距离为 $\frac{2 \sqrt{6}}{3}$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、设动直线 $l$ 与双曲线 $C$ 交于 $P ， Q$ 两点，已知 $A P ⊥ A Q$ ，设点 $A$ 到动直线 $l$ 的距离为 $d$ ，求 $d$ 的最大值.

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22. 设函数 $f (x) = - 3 l n x + x^{3} + a x^{2} - 2 a x ， a \in R$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若 $x_{1} ， x_{2}$ 为函数 $f (x)$ 的两个不等于1的极值点，设 $P (x_{1} ， f (x_{1})) ， Q (x_{2} ， f (x_{2}))$ ，记直线 $P Q$ 的斜率为 $k$ ，求证： $k + 2 < x_{1} + x_{2}$ .

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年度	2018	2019	2020	2021
年度序号x	1	2	3	4
不戴头盔人数y	1250	1050	1000	900

$P (K^{2} ⩾ k)$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005
$k$	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879

	不戴头盔	就头盔
伤亡	7	3
不伤亡	13	27