海南省2022届高三上学期数学学业水平诊断试卷一

试卷更新日期：2022-02-13 类型：高考模拟

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一、单选题

1. $\frac{1 + 3 i}{3 - i} =$ （）

A、1 B、i C、 $1 + i$ D、 $1 - i$

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2. 已知集合 $M = | x | (x - m) (x - 3) = 0 |$ ， $N = | x | (x - 3) (x - 1) < 0 |$ ，若 $M ∩ N \neq \emptyset$ ，则实数m的取值范围为（）

A、 $(1 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 3)$ C、 $(1 ， 3)$ D、 $(- \infty ， 1) \cup (3 ， + \infty)$

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3. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 2^{x} - 1 ， x \leq 0 ， \\ 1 - \frac{x}{4} ， x > 0 ， \end{array}$ 若 $f (x) = - \frac{3}{4}$ ，则 $x =$ （）

A、7 B、-2 C、2 D、7或-2

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4. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3}$ ， $a_{7}$ 是方程 $x^{2} - 6 x + 1 = 0$ 的两个实根，则 $a_{5} =$ （）

A、-1 B、1 C、-3 D、3

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5. 已知函数 $f (x) = 2 f (3) x - \frac{2}{9} x^{2} + l n x$ （ $f (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数），则 $f (1) =$ （）

A、 $- \frac{20}{9}$ B、 $- \frac{11}{9}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $\frac{16}{9}$

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6. 函数 $f (x) = \frac{1 - 9^{x}}{3^{x} (x^{4} + 1)}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 已知函数 $f (x) = l o g_{2} | x - 1 |$ ，若 $b < c < 0$ ， $1 < a < 2$ ，则（）

A、 $f (b) > f (c) > f (a)$ B、 $f (b) > f (a) > f (c)$ C、 $f (a) > f (b) > f (c)$ D、 $f (c) > f (a) > f (b)$

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8. 某地采用10合1混检的方式对居民进行新冠病毒核酸检测，即将10个人的咽拭子样本放入同一个采集管中进行检测，最后不满10人的，如果人数小于5，就将他们的样本混到前一个采集管中，否则再使用一个新的采集管．则各采样点使用的采集管个数y与到该采样点采样的人数 $x (x > 10)$ 之间的函数关系式为（）（ $[x]$ 表示不大于x的最大整数）

A、 $y = [\frac{x}{10}]$ B、 $y = [\frac{x + 4}{10}]$ C、 $y = [\frac{x + 5}{10}]$ D、 $y = [\frac{x + 6}{10}]$

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二、多选题

9. 在菱形ABCD中，E是AB边的中点，F是AD边的中点，则（）

A、 $\vec{A E} ∥ \vec{C D}$ B、 $\vec{A F} ∥ \vec{C D}$ C、 $\vec{E F} \cdot \vec{A C} = 0$ D、 $\vec{E F} \cdot \vec{B D} = 0$

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10. 已知等差数列 $| a_{n} |$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{11} = \frac{a_{5} + a_{7}}{2}$ ，则（）

A、 $S_{11} = 0$ B、 $a_{6} = 0$ C、 $S_{6} = S_{5}$ D、 $S_{7} = S_{6}$

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11. 将函数 $y = s i n x$ 图象上各点的横坐标缩小为原来的 $\frac{1}{4}$ ，纵坐标不变，再将所得图象向左平移 $\frac{π}{24}$ 个单位长度得到函数 $y = f (x)$ 的图象，则（）

A、 $f (\frac{π}{6}) = 0$ B、 $y = f (x)$ 的图象相邻两条对称轴间距离为 $\frac{π}{4}$ C、 $f (x)$ 在 $(\frac{5 π}{12} ， \frac{π}{2})$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $[0 ， \frac{π}{4}]$ 上的值域为 $[- \frac{1}{2} ， 1]$

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12. 已知函数 $f (x) = x + x^{2} - l n x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0 ， \frac{1}{2})$ 上单调递减，在 $(\frac{1}{2} ， + \infty)$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 有2个不同的零点 C、若a， $b \in (0 ， + \infty)$ ，则 $f (a) + f (b) \leq 2 f (\frac{a + b}{2})$ D、若 $f (a) = f (b)$ 且 $a \neq b$ ，则 $a + b > 1$

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三、填空题

13. 已知两个单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| 4 \vec{a} + \vec{b} | = \sqrt{13}$ ，则向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为．

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14. 已知 $c o s \frac{π}{12} c o s x + s i n \frac{π}{12} s i n \frac{7 π}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，请写出一个满足条件的 $x =$ ．

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15. 已知x，y，z为正实数，且 $x + 2 y - 4 z = 0$ ，则 $\frac{x y}{z^{2}}$ 的最大值为．

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16. 在等差数列 $| a_{n} |$ 中， $a_{2} = - 5$ ， $a_{6}$ 与 $a_{8}$ 互为相反数， $S_{n}$ 为 $| a_{n} |$ 的前n项和， $T_{n} = n S_{n}$ ，则 $T_{n}$ 的最小值是．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $c o s A s i n C = 2 s i n A s i n B$ ， $c = 2 b$ ．

(1)、求A；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{2}$ ，求 $a^{2}$ 的值．

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18. 奥运会个人射箭比赛中，每名选手一局需要射3箭，某选手前三局的环数统计如下表：

环数
第1局
10
10
7
第2局
8
9
9
第3局
10
8
10

(1)、求该选手这9箭射中的环数的平均数和方差；

(2)、若以该选手前9箭射中不同环数的频率代替他每一箭射中相应环数的概率，且每一次射箭互不影响，求他第4局的总环数不低于29的概率．

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19. 已知各项都为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 4$ ， $S_{4} - a_{4} = 84$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $a_{n} = 2^{b_{n}}$ ，数列 ${b_{n}}$ 的前n项和为 $T_{n}$ ，若 $3 S_{k} + T_{k} = 4 a_{k} + b_{k + 1}$ ，求正整数k的值．

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD是矩形， $A D ⊥$ 平面CDP， $P D = C D$ ， $D E = P E$ ，且 $∠ P C D = 30 °$ ．

(1)、求证：平面 $A D E ⊥$ 平面ABCD；

(2)、若 $C D = 3$ ， $A D = 2$ ，求直线PB与平面ADP所成角的正弦值．

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21. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过点 $P (0 ， 3)$ 的动直线l与C交于A，B两点，且当动直线l与y轴重合时，四边形 $A F_{1} B F_{2}$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若 $△ A B F_{1}$ 与 $△ A B F_{2}$ 的面积之比为2：1，求直线l的方程．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{x} + a l n x$ ， $a \in R$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $\frac{1}{2}$ ，求 $a$ 的值；

(2)、若 $a < 0$ ，且 $f (x) \geq e$ ，求 $a$ 的值．

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	环数
第1局	10	10	7
第2局	8	9	9
第3局	10	8	10