福建省普通高中2022届高三数学1月学业水平合格性考试试卷

试卷更新日期：2022-02-13 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {0 ， 1}$ ， $B = {- 1 ， 0}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 ${- 1 ， 0}$ B、 ${0 ， 1}$ C、 ${- 1 ， 1}$ D、 ${- 1 ， 0 ， 1}$

查看试题解析
2. 下列几何体中，其俯视图可以为圆的是（）

A、长方体 B、圆柱 C、三棱锥 D、正方体

查看试题解析
3. $s i n 135 ° =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

查看试题解析
4. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， 2)$ ， $\vec{b} = (0 ， 1)$ ，则 $\vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $(1 ， 3)$ B、 $(3 ， 1)$ C、 $(1 ， 1)$ D、 $(- 1 ， - 1)$

查看试题解析
5. 函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x - 1}}$ 的定义域为（）

A、 $(- 1 ， + \infty)$ B、 $(1 ， + \infty)$ C、 $(2 ， + ∞)$ D、 $R$

查看试题解析
6. 根据防疫要求，需从2名男医生和1名女医生中任选2名参加社区防控服务，则选中的2名都是男医生的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

查看试题解析
7. 设 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x \geq 1 \\ y \geq 1 \\ x + y \leq 3 \end{array}$ ，则 $z = 2 x + y$ 的最大值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

查看试题解析
8. 如图，在边长为2的正方形中随机撒1000粒豆子，有250粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、3

查看试题解析
9. 已知直线 $l_{1} ： y = k x + 1$ ， $l_{2} ： y = 2 x - 1$ ，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则实数 $k =$ （）

A、-2 B、-1 C、1 D、2

查看试题解析
10. 不等式 $x^{2} - 4 > 0$ 的解集是（）

A、 ${x | - 2 < x < 2}$ B、 ${x | x < - 2}$ C、 ${x | x > 2}$ D、 $(- ∞ ， - 2) \cup (2 ， + ∞)$

查看试题解析
11. 已知 $c o s α = \frac{3}{5}$ ， $α \in (0 ， π)$ ，则 $s i n α =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{3}{5}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

查看试题解析
12. 函数 $y = \sqrt{x}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

查看试题解析
13. 函数 $y = \frac{\sqrt{3}}{2} s i n x + \frac{1}{2} c o s x$ 的最小值是（）

A、-1 B、 $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

查看试题解析
14. 已知 $a = {(\frac{1}{2})}^{4}$ ， $b = 4^{\frac{1}{2}}$ ， $c = 2^{\frac{1}{2}}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a < b < c$ B、 $c < b < a$ C、 $a < c < b$ D、 $b < a < c$

查看试题解析
15. 关于函数 $f (x) = s i n x | c o s x |$ 有下列四个结论：
① $f (x)$ 的图象关于原点对称；② $f (x)$ 在区间 $(0 ， \frac{π}{4})$ 上单调递增；③ $f (x)$ 的一个周期为 $π$ ；④ $f (x)$ 在 $(- π ， π)$ 是有四个零点
其中所有正确结论的编号是（）

A、①② B、①③ C、②④ D、③④

查看试题解析

二、填空题

16. 若 $f (x + 1) = {(x + 1)}^{2}$ ，则 $f (2) =$ .

查看试题解析
17. 已知 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 1$ ， $| \vec{b} | = 3$ ， $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角的余弦值为.

查看试题解析
18. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 6$ ，则 $a_{2} =$ .

查看试题解析
19. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 $B = C = 30 °$ ， $c = 2$ ，则 $a =$ .

查看试题解析
20. 要制作一个容积为 $9 m^{3}$ ，高为 $1 m$ 的无盖长方体容器，已知该容器的底面每平方米的造价是300元，侧面每平方米的造价是200元，则该容器的最低总造价为元.

查看试题解析

三、解答题

21. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{3} = 4$ ， $a_{6} = 32$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $S_{n} = 31$ ，求 $n$ ．

查看试题解析
22. 已知圆C： ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ ．

(1)、求圆心C的坐标及半径长；

(2)、求直线 $l$ ： $y = x + 3$ 被圆C所截得的弦AB的长．

查看试题解析
23. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，已知△ABC和△PBC均为正三角形，D为BC的中点．

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ， $P A = \sqrt{3}$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 的体积．

查看试题解析
24. 有人收集了5年中某城市的居民年收入（即此城市有居民在一年内的收入总和）与某种商品的销售额的有关数据：
第 $n$ 年
1
2
3
4
5
年收入 $x$ /亿元
32
33
34
35
36
商品销售额 $y$ /万元
25
30
34
37
39

(1)、求 $\bar{x}$ ， $\bar{y}$ ；

(2)、求y关于x的回归方程；

(3)、如果这座城市居民的年收入达到40亿元，估计这种商品的销售额是多少?
附：对于一组数据 $(x_{1} ， y_{1}) ， (x_{2} ， y_{2}) ， ⋯ ， (x_{n} ， y_{n})$ ，其回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .

查看试题解析
25. 已知四个函数： $f_{1} (x) = x + \frac{1}{x}$ ， $f_{2} (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ ， $f_{3} (x) = l n (\sqrt{x^{2} + 1} + x)$ ， $f_{4} (x) = x^{2} + 4$ .

(1)、从上四个数选择一个函数，判断其奇偶性，并加以证明；

(2)、以上四个中，是否满足其图象与直线 $y = 3$ 有且仅有一个公共点的函数?若存在，写出满足条件的一个函数，并证明；若不存在，说明理由.

查看试题解析

第 $n$ 年	1	2	3	4	5
年收入 $x$ /亿元	32	33	34	35	36
商品销售额 $y$ /万元	25	30	34	37	39