上海市松江区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-02-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知α为锐角，若 $\sin α = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则α的度数是（）

A、30° B、45° C、60° D、75°

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2. 已知在Rt $△$ ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，那么下列结论一定成立的是（）

A、b＝ctanA B、b＝ccotA C、b＝csinA D、b＝ccosA

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3. 已知二次函数y＝ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，那么下列判断正确的是（）

A、b＞0，c＞0 B、b＞0，c＜0 C、b＜0，c＞0 D、b＜0，c＜0．

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4. 已知 $\vec{a}$ ＝2 $\vec{b}$ ，那么下列判断错误的是（）

A、 $\vec{a}$ ﹣2 $\vec{b}$ ＝0 B、 $\vec{b} = \frac{1}{2} \vec{a}$ C、| $\vec{a}$ |＝2| $\vec{b}$ | D、 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$

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5. 如图，已知点G是 $△$ ABC的重心，那么 $S_{△ B C G} ： S_{△ A B C}$ 等于（）

A、1：2 B、1：3 C、2：3 D、2：5

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6. 下列四个命题中，真命题的个数是（）
⑴底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似；
⑵底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；
⑶底边和一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似；
⑷腰和腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似．

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

7. 已知 $\frac{x}{y}$ ＝2，那么 $\frac{2 x - y}{x + 2 y}$ ＝．

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8. 把抛物线y＝x²+1向右平移1个单位，所得新抛物线的表达式是．

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9. 已知两个相似三角形的面积比为4：9，那么这两个相似三角形的周长比为．

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10. 已知，AB=8，P是AB黄金分割点，PA>PB，则PA的长为.

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11. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（2，3），那么直线OA与x轴夹角的正切值是．

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12. 如果一个二次函数图象的对称轴是直线x＝2，且沿着x轴正方向看，图象在对称轴左侧部分是上升的，请写出一个符合条件的函数解析式．

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13. 一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为 $y = - \frac{1}{12} x^{2} + \frac{2}{3} x + \frac{5}{3}$ ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为m．

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14. 如图，码头A在码头B的正东方向，它们之间的距离为10海里．一货船由码头A出发，沿北偏东45°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西60°方向，那么码头A与小岛C的距离是海里（结果保留根号）．

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15. 如图，已知在梯形ABCD中，AB $∥$ CD，AB＝2CD，设 $\vec{A B}$ ＝ $\vec{a}$ ， $\vec{A D}$ ＝ $\vec{b}$ ，那么 $\vec{A E}$ 可以用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示为．

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16. 如图，某时刻阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的“亮区”DE，光线与地面所成的角（如∠BEC）的正切值是 $\frac{1}{2}$ ，那么窗口的高AB等于米．

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17. 我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形．如图，已知梯形ABCD中，AD $∥$ BC，AD＝1，BC＝2，E、F分别是边AB、CD上的点，且EF $∥$ BC，如果四边AEFD与四边形EBCF相似，那么 $\frac{A E}{E B}$ 的值是．

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18. 如图，已知矩形ABCD中，AD＝3，AB＝5，E是边DC上一点，将 $△$ ADE绕点A顺时针旋转得到 $△ A D E$ ，使得点D的对应点 $D$ 落在AE上，如果 $D E$ 的延长线恰好经过点B，那么DE的长度等于．

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三、解答题

19. 已知一个二次函数图象的顶点为（1，0），与y轴的交点为（0，1）．

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、在所给的平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象．

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20. 如图，已知平行四边形ABCD中，G是AB延长线上一点，联结DG，分别交AC、BC于点E、F，且AE：EC＝3：2．

(1)、如果AB＝10，求BG的长；

(2)、求 $\frac{E F}{F G}$ 的值．

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21. 如图，已知 $△$ ABC中，AB＝AC＝12，cosB＝ $\frac{3}{4}$ ， AP⊥AB，交BC于点P．

(1)、求CP的长；

(2)、求∠PAC的正弦值．

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22. 某货站沿斜坡AB将货物传送到平台BC．一个正方体木箱沿着斜坡移动，当木箱的底部到达点B时的平面示意图如图所示．已知斜坡AB的坡度为1：2.4，点B到地面的距离BE＝1.5米，正方体木箱的棱长BF＝0.65米，求点F到地面的距离．

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23. 已知：如图，梯形ABCD中，DC $∥$ AB，AC＝AB，过点D作BC的平行线交AC于点E．

(1)、如果∠DEC＝∠BEC，求证：CE²＝ED•CB；

(2)、如果AD²＝AE•AC，求证：AD＝BC．

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24. 如图，已知直线y＝﹣ $\frac{2}{3}$ x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣ $\frac{2}{3}$ x²+bx+c经过A、B两点．

(1)、求这条抛物线的表达式；

(2)、直线x＝t与该抛物线交于点C，与线段AB交于点D（点D与点A、B不重合），与x轴交于点E，联结AC、BC．
①当 $\frac{D E}{C D}$ ＝ $\frac{A E}{O E}$ 时，求t的值；
②当CD平分∠ACB时，求 $△$ ABC的面积．

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25. 如图，已知 $△$ ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝4，D是边AB上一点（与点A、B不重合），DE平分∠CDB，交边BC于点E，EF⊥CD，垂足为点F．

(1)、当DE⊥BC时，求DE的长；

(2)、当 $△$ CEF与 $△$ ABC相似时，求∠CDE的正切值；

(3)、如果 $△$ BDE的面积是 $△$ DEF面积的2倍，求这时AD的长．

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