上海市青浦区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-02-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图形，一定相似的是（）

A、两个直角三角形 B、两个等腰三角形 C、两个等边三角形 D、两个菱形

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2. 如图，已知AB $∥$ CD $∥$ EF，它们依次交直线 $l_{1}$ 、 $l_{2}$ 于点A、C、E和点B、D、F．如果AC：CE =2：3，BD=4，那么BF等于（）

A、6 B、8 C、10 D、12

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3. 在Rt△ABC中，∠C=90°，那么 $c o t A$ 等于（）

A、 $\frac{A C}{B C}$ B、 $\frac{A C}{A B}$ C、 $\frac{B C}{A C}$ D、 $\frac{B C}{A B}$

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4. 如图，点D、E分别在△ABC的边AB、BC上，下列条件中一定能判定DE $∥$ AC的是（）

A、 $\frac{A D}{D B} = \frac{B E}{C E}$ B、 $\frac{B D}{A D} = \frac{B E}{E C}$ C、 $\frac{A D}{A B} = \frac{C E}{B E}$ D、 $\frac{B D}{B A} = \frac{D E}{A C}$

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5. 如果 $\vec{a} = - 2 \vec{b}$ （ $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 均为非零向量），那么下列结论错误的是（）

A、 $| \vec{a} | = 2 | \vec{b} |$ B、 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ C、 $\vec{a} + 2 \vec{b} = \vec{0}$ D、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相同

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6. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BA的延长线上，联结EC，交边AD于点F，则下列结论一定正确的是（）

A、 $\frac{E A}{A B} = \frac{A F}{B C}$ B、 $\frac{E A}{A B} = \frac{F D}{A F}$ C、 $\frac{A F}{B C} = \frac{E A}{C D}$ D、 $\frac{E A}{E B} = \frac{A F}{A D}$

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二、填空题

7. 已知线段b是线段a、c的比例中项，且a = 1，b = 3，那么c = ．

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8. 计算： $3 \vec{a} - 2 (\vec{a} - 2 \vec{b})$ = ．

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9. 如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么它们的对应高的比为．

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10. 二次函数 $y = - x^{2} - x - 1$ 的图像有最点．（填“高”或“低”）

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11. 将抛物线 $y = x^{2}$ 向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是．

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12. 如果抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （其中a、b、c是常数，且a≠0）在对称轴左侧的部分是下降的，那么a0．（填“＜”或“＞”）

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13. 在△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=2，AC=3，那么BC= ．

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14. 如图，已知△ABC是等边三角形，边长为3，G是三角形的重心，那么GA = ．

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15. 如图，如果小华沿坡度为 $1 ： \sqrt{3}$ 的坡面由A到B行走了8米，那么他实际上升的高度为米．

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16. 如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、O都在这些小正方形的顶点上，那么sin∠AOB的值为．

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17. 如图，在矩形ABCD中，∠BCD的角平分线CE与边AD交于点E，∠AEC的角平分线与边CB的延长线交于点G，与边AB交于点F，如果AB= $3 \sqrt{2}$ ， AF=2BF，那么GB= ．

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18. 如图，一次函数 $y = a x + b (a < 0 ， b > 0)$ 的图像与x轴，y轴分别相交于点A，点B，将它绕点O逆时针旋转90°后，与x轴相交于点C，我们将图像过点A，B，C的二次函数叫做与这个一次函数关联的二次函数．如果一次函数 $y = - k x + k (k > 0)$ 的关联二次函数是 $y = m x^{2} + 2 m x + c$ （ $m \neq 0$ ），那么这个一次函数的解析式为．

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三、解答题

19. 计算： $| s i n 45 ° - 1 | + 2 c o s 30 ° - {(t a n 60 °)}^{0} - {(c o t 60 °)}^{- 1}$ ．

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20. 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边AD上，CE、BD相交于点F，BF=3DF．

(1)、求AE：ED的值；

(2)、如果 $\vec{D C} = \vec{a}$ ， $\vec{E A} = \vec{b}$ ，试用 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{C F}$ ．

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21. 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，联结AD，AB=AD，BD=4， $t a n C = \frac{1}{4}$ ．

(1)、求AB的长；

(2)、求点C到直线AB的距离．

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22. 如图，某校的实验楼对面是一幢教学楼，小张在实验楼的窗口C（AC $∥$ BD）处测得教学楼顶部D的仰角为27°，教学楼底部B的俯角为13°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB=20米．求教学楼BD（BD⊥AB）的高度．（精确到0.1米）（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）

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23. 已知：如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点E，∠ABD=∠CBD， $D C^{2} = D E \cdot D B$ ．

(1)、求证：△AEB∽△DEC；

(2)、求证： $B C \cdot A D = C E \cdot B D$ ．

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24. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．

(1)、求该抛物线的表达式及点C的坐标；

(2)、联结BC、BD，求∠CBD的正切值；

(3)、若点P为x轴上一点，当△BDP与△ABC相似时，求点P的坐标．

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25. 在四边形ABCD中，AD $∥$ BC，AB= $\sqrt{5}$ ， AD=2，DC= $2 \sqrt{5}$ ， tan∠ABC=2（如图）．点E是射线AD上一点，点F是边BC上一点，联结BE、EF，且∠BEF=∠DCB．

(1)、求线段BC的长；

(2)、当FB=FE时，求线段BF的长；

(3)、当点E在线段AD的延长线上时，设DE=x，BF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．

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