上海市嘉定区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-02-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列函数中是二次函数的是（）

A、 $y = x - 1$ B、 $y = \frac{1}{x^{2}}$ C、 $y = (x - 2)^{2} - x^{2}$ D、 $y = x (x - 1)$

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2. 已知抛物线 $y = (a - 1) x^{2} + 2$ 的顶点是此抛物线的最低点，那么 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \neq 0$ B、 $a \neq 1$ C、 $a > 1$ D、 $a < 1$

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3. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 2$ ，那么下列各式中正确的是（）

A、 $t a n A = \frac{1}{3}$ B、 $c o t A = \frac{1}{3}$ C、 $s i n A = \frac{1}{3}$ D、 $c o s A = \frac{1}{3}$

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4. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $c o s B = \frac{2}{5}$ ，那么 $B C$ 的长是（）

A、 $4$ B、 $8$ C、 $2 \sqrt{21}$ D、 $4 \sqrt{21}$

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5. 已知一个单位向量 $\vec{e}$ ，设 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 是非零向量，那么下列等式中一定正确的是（）

A、 $| \vec{e} | \vec{a} = \vec{a}$ B、 $| \vec{b} | \vec{e} = \vec{b}$ C、 $\frac{1}{| \vec{b} |} \vec{b} = \vec{e}$ D、 $\frac{1}{| \vec{a} |} \vec{a} = \frac{1}{| \vec{b} |} \vec{b}$

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6. 如图，已知 $A B$ $∥$ $C D$ $∥$ $E F$ ， $A C ： A E = 3 ： 5$ ，那么下列结论正确的是（）

A、 $B D ： D F = 2 ： 3$ B、 $A B ： C D = 2 ： 3$ C、 $C D ： E F = 3 ： 5$ D、 $D F ： B F = 2 ： 5$

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二、填空题

7. 抛物线 $y = a x^{2} + 2$ 经过点 $(- 2 ， 6)$ ，那么a= ．

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8. 抛物线 $y = - x^{2} - 2 x + 1$ 的对称轴是．

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9. 抛物线 $y = (m + 3) x^{2} + x - 1$ 在对称轴右侧的部分是上升的，那么 $m$ 的取值范围是．

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10. 将抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ 向左平移2个单位，得到一条新抛物线，这条新抛物线的表达式是．

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11. 在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $c o s B = \frac{1}{4}$ ， $B C = 4$ ，那么 $A B =$ ．

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12. 在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与 $B D$ 之比是 $3 ： 4$ ，那么 $s i n ∠ B A C =$ ．

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13. 如图，飞机在目标 $B$ 的正上方 $A$ 处，飞行员测得地面目标 $C$ 的俯角 $α = 30 °$ ，如果地面目标 $B$ 、 $C$ 之间的距离为 $6$ 千米，那么飞机离地面的高度 $A B$ 等于千米．（结果保留根号）

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14. 已知 $x ： y = 2 ： 3$ ，那么 $(x + y) ： y =$ ．

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15. 已知向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{x}$ 满足 $2 (\vec{a} - \vec{x}) = 3 (\vec{b} - \vec{x})$ ，试用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示向量 $\vec{x}$ ，那么 $\vec{x}$ = ．

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中， $D E$ $∥$ $B C$ ， $D F$ $∥$ $A C$ ， $A D = 3$ ， $B D = 2$ ，那么 $B F ： D E$ 的值是．

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17. 在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，对角线 $A C$ 与 $B D$ 相交于点 $O$ ，如果 $△ A O D$ 、 $△ B O C$ 的面积分别是1cm²、4cm² ，那么梯形 $A B C D$ 的面积等于cm² ．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 2$ ， $A B = 2 \sqrt{5}$ ，点 $D$ 在边 $A C$ 上， $C D ： A D = 1 ： 3$ ，联结 $B D$ ，点 $E$ 在线段 $B D$ 上，如果 $∠ B C E = ∠ A$ ，那么 $C E =$ ．

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三、解答题

19. 计算： $t a n 60 ° \cdot c o t 30 ° + \frac{t a n 45 °}{c o t 45 ° + 2 s i n 45 °} + 2 | c o s 60 ° - 1 |$ ．

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20. 如图，在梯形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C$ ，点 $E$ 在线段 $A D$ 上， $C E$ 与 $B D$ 相交于点 $H$ ， $C E$ 与 $B A$ 的延长线相交于点 $G$ ，已知 $D E ： A E = 2 ： 3$ ， $B C = 4 D E$ ， $C E = 10$ ．求 $E H$ 、 $G E$ 的长．

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21. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像经过点 $A (3 ， - 2)$ 、 $B (2 ， - 3)$ 、 $C (0 ， 1)$ ．

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．

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22. 如图，在航线 $l$ 的两侧分别有两个灯塔 $A$ 和 $B$ ，灯塔 $A$ 到航线 $l$ 的距离为 $A C = 3$ 千米，灯塔 $B$ 到航线 $l$ 的距离为 $B D = 4$ 千米，灯塔 $B$ 位于灯塔 $A$ 南偏东 $60 °$ 方向．现有一艘轮船从位于灯塔 $B$ 北偏西 $53 °$ 方向的 $N$ （在航线 $l$ 上）处，正沿该航线自东向西航行， $10$ 分钟后该轮船行至灯塔 $A$ 正南方向的点 $C$ （在航线 $l$ 上）处．

(1)、求两个灯塔 $A$ 和 $B$ 之间的距离；

(2)、求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．（参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ， $s i n 53 ° \approx 0.80$ ， $c o s 53 ° \approx 0.60$ ， $t a n 53 ° \approx 1.33$ ）

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23. 如图，已知正方形 $A B C D$ 和正方形 $B E F G$ ，点 $E$ 在边 $B C$ 上，点 $G$ 在边 $A B$ 的延长线上，连接 $A E$ ，并延长 $A E$ 交 $C G$ 于点 $K$ ．

(1)、求证： $△ A B E$ ∽ $△ C K E$ ；

(2)、如果 $C G$ 与 $E F$ 交于点 $H$ ，求证： $B E^{2} = F H \cdot A B$ ．

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24. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ 、 $B$ 两点在直线 $y = \frac{1}{2} x$ 上，如图．二次函数 $y = a x^{2} + b x - 2$ 的图像也经过点 $A$ 、 $B$ 两点，并与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，如果 $B C$ $∥$ $x$ 轴，点 $A$ 的横坐标是 $2$ ．

(1)、求这个二次函数的解析式；

(2)、设这个二次函数图象的对称轴与 $B C$ 交于点 $D$ ，点 $E$ 在 $x$ 轴的负半轴上，如果以点 $E$ 、 $O$ 、 $B$ 所组成的三角形与 $△ O B D$ 相似，且相似比不为 $1$ ，求点 $E$ 的坐标；

(3)、设这个二次函数图象的顶点是 $M$ ，求 $t a n ∠ A M C$ 的值．

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25. 在平行四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 与边 $C D$ 垂直， $\frac{A B}{A C} = \frac{3}{4}$ ，四边形 $A B C D$ 的周长是 $16$ ，点 $E$ 是在 $A D$ 延长线上的一点，点 $F$ 是在射线 $A B$ 上的一点， $∠ C E D = ∠ C D F$ ．

(1)、如图1，如果点 $F$ 与点 $B$ 重合，求 $∠ A F D$ 的余切值；

(2)、如图2，点 $F$ 在边 $A B$ 上的一点．设 $A E = x$ ， $B F = y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式并写出它的定义域；

(3)、如果 $B F ： F A = 1 ： 2$ ，求 $△ C D E$ 的面积．

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