上海市黄浦区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-02-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 4和9的比例中项是（）

A、6 B、 $\pm 6$ C、 $\frac{16}{9}$ D、 $\frac{81}{4}$

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2. 如果两个相似三角形的周长比为 $1 ： 4$ ，那么它们的对应角平分线的比为（）

A、 $1 ： 4$ B、 $1 ： 2$ C、 $1 ： 16$ D、 $1 ： \sqrt{2}$

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3. 已知 $a ， b ， c$ 是非零向量，下列条件中不能判定 $a ∥ b$ 的是（）

A、 $\vec{a} = \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $a = 3 b$ C、 $| a | = | b |$ D、 $a = \frac{1}{2} c ， b = - 2 c$

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4. $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{∘}$ ，若 $B C = 2$ ， $A C = 3$ ，下列各式中正确的是 $($ $)$

A、 $s i n A = \frac{2}{3}$ B、 $c o s A = \frac{2}{3}$ C、 $t a n A = \frac{2}{3}$ D、 $c o t A = \frac{2}{3}$

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5. 如图，点 $D 、 E$ 分别在 $Δ A B C$ 的边 $A B$ 、 $A C$ 上，下列各比例式不一定能推得 $D E / / B C$ 的是（）

A、 $\frac{A D}{B D} = \frac{A E}{C E}$ B、 $\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C}$ C、 $\frac{A B}{B D} = \frac{A C}{C E}$ D、 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$

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6. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像如图所示，那么点 $P (b ， \frac{a}{c})$ 在（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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二、填空题

7. 计算：如果 $\frac{x}{y} = \frac{2}{3}$ ，那么 $\frac{x - y}{y} =$

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8. 如图，已知 $A B ∥ C D ∥ E F$ 它们分别交直线 $l_{1} ， l_{2}$ 于点 $A ， D ， F$ 和点 $B ， C ， E$ ，如果 $\frac{A D}{D F} = \frac{2}{3}$ ， $B E = 20$ ，那么线段 $B C$ 的长是

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9. 如图， $D ， E$ 分别是 $△ A B C$ 的边 $B A ， C A$ 延长线上的点， $D E ∥ B C$ ， $E A ： A C = 1 ： 2$ ，如果 $\vec{E D} = a$ ，那么向量 $\vec{B C} =$ （用向量 $a$ 表示）．

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10. 在Rt $△ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{∘}$ ，如果 $\frac{A C}{A B} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，那么 $∠ B =$

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11. 已知一条抛物线经过点 $(0 ， 1)$ ，且在对称轴右侧的部分是下降的，该抛物战的表达式可以是（写出一个即可）．

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12. 如果抛物线 $y = - x^{2} + b x - 1$ 的对称轴是 $y$ 轴，那么顶点坐标为

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13. 已知某小山坡的坡长为400米、山坡的高度为200米，那么该山坡的坡度 $i =$

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14. 如图， $△ A B C$ 是边长为3的等边三角形， $D ， E$ 分别是边 $B C ， A C$ 上的点， $∠ A D E = 6 0^{∘}$ ，如果 $B D = 1$ ，那么 $C E =$

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15. 如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘} ， C D$ 是 $A B$ 边上的中线， $C D = 5 ， B C = 6$ ，则 $c o s ∠ A C D$ 的值是

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16. 如图，在 $△ A B C$ 中，中线 $A D ， B E$ 相交于点 $O$ ，如果 $△ A O E$ 的面积是4，那么四边形 $O E C D$ 的面积是

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17. 如图，在△ABC中， $A B = 4 ， A C = 5$ ，将△ABC绕点A旋转，使点B落在AC边上的点D处，点C落在点E处，如果点E恰好在线段BD的延长线上，那么边BC的长等于

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18. 若抛物线 $y_{1} = a x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ 的顶点为 $A$ ，抛物线 $y_{2} = - a x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ 的顶点为B，且满足顶点A在抛物线 $y_{2}$ 上，顶点B在抛物线 $y_{1}$ 上，则称抛物线 $y_{1}$ 与抛物线 $y_{2}$ 互为“关联抛物线”，已知顶点为M的抛物线 $y = {(x - 2)}^{2} + 3$ 与顶点为N的抛物线互为“关联抛物线”，直线MN与 $x$ 轴正半轴交于点D，如果 $t a n ∠ M D O = \frac{3}{4}$ ，那么顶点为N的抛物线的表达式为

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三、解答题

19. 计算： $\frac{t a n 3 0^{∘}}{2 c o s 3 0^{∘}} + c o t^{2} 4 5^{∘} - s i n^{2} 4 5^{∘}$ ．

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20. 已知二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 的图像经过 $A (2 ， - 3) ， B (5 ， 0)$ 两点

(1)、求二次函数的解析式：

(2)、将该二次函数的解析式化为 $y = a {(x + m)}^{2} + k$ 的形式，并写出该二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴

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21. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $D E ∥ B C ， \frac{A F}{D F} = \frac{A D}{D B}$

(1)、求证 $E F ∥ C D$

(2)、如果 $\frac{E F}{C D} = \frac{4}{5} ， A D = 15$ ，求 $D F$ 的长．

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22. 已知：如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ，过点 $D$ 作 $D F ∥ B C$ ，分别交 $A C$ 、 $A B$ 点 $E$ 、 $F$ ，且满足 $A B \cdot A F = D F \cdot B C$ ．

(1)、求证： $∠ A E F = ∠ D A F$

(2)、求证： $\frac{A F}{A B} = \frac{D E^{2}}{C D^{2}}$

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23. 如图，在东西方向的海岸线1上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．

(1)、求AB两地的距离：（结果保留根号）

(2)、如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由（参考数据：sin37°＝0.60，cos37°＝0.80，tan37＝0.75）

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24. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a x^{2} - 3 a x - 4 a (a < 0)$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0) ， B$ 两点与 $y$ 轴交于点C，点M是抛物线的顶点，抛物线的对称轴 $l$ 与BC交于点D，与 $x$ 轴交于点E．

(1)、求抛物线的对称轴及B点的坐标

(2)、如果 $M D = \frac{15}{8}$ ，求抛物线 $y = a x^{2} - 3 a x - 4 a (a < 0)$ 的表达式；

(3)、在（2）的条件下，已知点F是该抛物线对称轴上一点，且在线段 $B C$ 的下方， $∠ C F B = ∠ B C O$ ，求点 $F$ 的坐标

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25. 如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ACB＝∠DAB＝90°，AB²＝BC·BD，AB＝3，过点A作AE⊥BD，垂足为点E，延长AE、CB交于点F，连接DF

(1)、求证：AE＝AC；

(2)、设 $B C = x$ ， $\frac{A E}{E F} = y$ ，求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式及其定义域；

(3)、当△ABC与△DEF相似时，求边BC的长．

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