上海市虹口区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-02-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图形中一定是相似形的是（）

A、两个等腰三角形 B、两个菱形 C、两个矩形 D、两个正方形

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2. 在Rt $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 12$ ， $A C = 5$ ，那么 $c o t B$ 等于（）

A、 $\frac{5}{13}$ B、 $\frac{12}{13}$ C、 $\frac{12}{5}$ D、 $\frac{5}{12}$

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3. 已知 $\vec{a} = 7 \vec{b}$ ，下列说法中错误的是（）

A、 $\vec{a} - 7 \vec{b} = 0$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 方向相同 C、 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ D、 $| \vec{a} | = 7 | \vec{b} |$

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4. 下列函数中，属于二次函数的是（）

A、 $y = \sqrt{x^{2} + x}$ B、 $y = {(x - 1)}^{2} - x^{2}$ C、 $y = 5 x^{2}$ D、 $y = \frac{2}{x^{2}}$

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5. 在 $△ A B C$ 中，点E、D、F分别在边AB、BC、AC上，联结DE、DF，如果 $D E ∥ A C$ ， $D F ∥ A B$ ， $A E ： E B = 3 ： 2$ ，那么 $A F ： F C$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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6. 如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（）

A、 $4 \sqrt{5}$ 米 B、10米 C、 $4 \sqrt{6}$ 米 D、12米

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二、填空题

7. 如果 $\frac{m}{n} = \frac{5}{6}$ ，那么 $\frac{m - n}{n} =$ ．

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8. 已知点P是线段AB上的黄金分割点，AP>PB，线段AB=2厘米，那么线段AP= ．

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9. 如果向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{x}$ 满足 $\frac{1}{2} (\vec{x} + \vec{a}) = \vec{a} - \frac{3}{2} \vec{b}$ ，那么 $\vec{x} =$ （用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示）．

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10. 已知二次函数 $y = (a - 1) x^{2} + x + a^{2} - 1$ 的图像经过原点，则a的值是．

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11. 如果抛物线 $y = (2 - a) x^{2} + 2$ 开口向下，那么a的取值范围是．

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12. 如果抛物线过点 $(- 2 ， 3)$ ，且与y轴的交点是 $(0 ， 3)$ ，那么抛物线的对称轴是直线．

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13. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ 为函数 $y = - 2 {(x - 1)}^{2} + 3$ 的图象上的两点，若 $x_{1} < x_{2} < 0$ ，则 $y_{1}$ $y_{2}$ （填“>”、“=”或“<”）．

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14. 如果一个斜坡的坡度 $i = 1 ： \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，那么该斜坡的坡角为度．

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15. 已知 $R t △ A B C$ 的两直角边之比为3：4，若 $△ D E F$ 与 $△ A B C$ 相似，且 $△ D E F$ 最长的边长为20，则 $△ D E F$ 的周长为．

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16. 如图，过 $△ A B C$ 的重心G作 $E D ∥ A B$ 分别交边AC、BC于点E、D，联结AD，如果AD平分 $∠ B A C$ ， $A B = 6$ ，那么 $E C =$ ．

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17. 在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在 $4 \times 4$ 的网格中， $△ A B C$ 是一个格点三角形，如果 $△ D E F$ 也是该网格中的一个格点三角形，它与 $△ A B C$ 相似且面积最大，那么 $△ D E F$ 与 $△ A B C$ 相似比的值是．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 15$ ， $s i n ∠ A = \frac{4}{5}$ ．点D、E分别在AB和AC边上， $A D = 2 D B$ ，把 $△ A D E$ 沿着直线DE翻折得 $△ D E F$ ，如果射线 $E F ⊥ B C$ ，那么 $A E =$ ．

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三、解答题

19. 计算： $\frac{2 s i n 60 ° + 3 t a n 30 °}{c o t 30 ° - c o t 45 °}$ ．

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20. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y
…
3
4
3
0
-5
…

(1)、求该抛物线的表达式；

(2)、将抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 沿x轴向右平移 $m (m > 0)$ 个单位，使得新抛物线经过原点O，求m的值以及新抛物线的表达式．

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21. 如图，在平行四边形ABCD中，延长BC到点E，使 $C E = B C$ ，联结AE交DC于点F，设 $\overset{⇀}{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ．

(1)、用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示 $\vec{D E}$ ；

(2)、求作：向量 $\vec{A F}$ 分别在 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 方向上的分向量．（不要求写作法，但要写明结论）

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22. 图1是一款平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成．工作时，可将平板电脑吸附在托板上，底座放置在桌面上，图2是其侧面结构示意图，已知托板AB长200mm，支撑板CB长80mm，当 $∠ A B C = 130 °$ ， $∠ B C D = 70 °$ 时，求托板顶点A到底座CD所在平面的距离（结果精确到1mm）．（参考数据： $s i n 70 ° \approx 0.94$ ， $c o s 70 ° \approx 0.34$ ， $t a n 70 ° \approx 2.75$ ， √ $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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23. 如图，在梯形ABCD中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A D ∥ B C$ ， $B C = 2 A D$ ，对角线AC与BD交于点E．点F是线段EC上一点，且 $∠ B D F = ∠ B A C$ ．

(1)、求证： $E B^{2} = E F \cdot E C$ ；

(2)、如果 $B C = 6$ ， $s i n ∠ B A C = \frac{2}{3}$ ，求FC的长．

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24. 已知开口向上的抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + 3$ 与y轴的交点为A，顶点为B，点A与点C关于对称轴对称，直线AB与OC交于点D．

(1)、求点C的坐标，并用含a的代数式表示点B的坐标；

(2)、当 $∠ A B C = 90 °$ 时，求抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + 3$ 的表达式；

(3)、当 $∠ A B C = 2 ∠ B C D$ 时，求OD的长．

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25. 已知：如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $t a n B = \frac{3}{4}$ ，点D是边BC延长线上的一点，在射线AB上取一点E，使得 $∠ A D E = ∠ A B C$ ，过点A作 $A F ⊥ D E$ 于点F．

(1)、当点E在线段AB上时，求证： $\frac{A F}{A C} = \frac{D E}{B D}$ ；

(2)、在（1）题的条件下，设 $C D = x$ ， $D E = y$ ，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

(3)、记DE交射线AC于点G，当 $△ A E F ∽ △ A G F$ 时，求CD的长．

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x	…	-2	-1	0	1	2	…
y	…	3	4	3	0	-5	…