北京市顺义区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-02-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如果 $3 x = 4 y$ （ $x y \neq 0$ ），那么下列比例式中正确的是（）

A、 $\frac{x}{y} = \frac{3}{4}$ B、 $\frac{y}{x} = \frac{4}{3}$ C、 $\frac{x}{4} = \frac{y}{3}$ D、 $\frac{x}{3} = \frac{y}{4}$

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2. 如图，在平面直角坐标系内有一点P（3，4），连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角α的正弦值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{5}$

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3. 将抛物线y=3x²向左平移2个单位后得到的抛物线的解析式为（　　）

A、y=3（x+2）² B、y=3（x-2）² C、y=3x²+2 D、y=3x²-2

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4. 如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1：2，则斜坡AB的长为（）米

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{5}$ C、 $12 \sqrt{5}$ D、24

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5. 如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，错误的是（）

A、∠ABD=∠C B、∠ADB=∠ABC C、 $\frac{AB}{BD} = \frac{CB}{CD}$ D、 $\frac{AD}{AB} = \frac{AB}{AC}$

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6. 如图，AB切于⊙O点B，延长AO交⊙O于点C，连接BC，若∠A=40°，则∠C=（）

A、20° B、25° C、40° D、50°

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7. 如图，在 $⊙ O$ 中，如果 $\overset{⌢}{A B}$ ＝2 $\overset{⌢}{A C}$ ，则下列关于弦AB与弦AC之间关系正确的是（）

A、AB＝AC B、AB＝ 2AC C、AB ＞2AC D、AB ＜ 2AC

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8. 已知点 $A (x_{1} ， y_{1}) ， B (x_{2} ， y_{2})$ 在反比例函数 $y = - \frac{12}{x}$ 的图象上.若 $x_{1} < 0 < x_{2}$ ，则（）

A、 $y_{1} < 0 < y_{2}$ B、 $y_{2} < 0 < y_{1}$ C、 $y_{1} < y_{2} < 0$ D、 $y_{2} < y_{1} < 0$

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二、填空题

9. 若代数式 $\frac{1}{x - 1}$ 有意义，则实数x的取值范围是.

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10. 若二次函数 $y = x^{2} + b x + 4$ 配方后为 $y = (x - 1)^{2} + k$ ，则b＝， k＝．

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11. 如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m.则旗杆的高度为m.

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12. 如图，在 $Δ A B C$ 中，D，E分别是边 $A B$ ， $A C$ 的中点，则 $Δ A D E$ 与 $Δ A B C$ 的周长之比等于.

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13. 在矩形ABCD中，BC=6，CD=8，以A为圆心画圆，且点D在⊙A内，点B在⊙A外，则⊙A半径r的取值范围是．

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14. 如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的⊙O ，则劣弧AB的长度为．

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15. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $s i n B = \frac{1}{3}$ ， $t a n C = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ， $A B = 3$ ，则 $A C$ 的长为．

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16. 如图，两个反比例函数 $y = \frac{4}{x}$ 和 $y = \frac{2}{x}$ 在第一象限内的图象分别是C₁和C₂ ，设点P在C₁上，PA⊥x轴于点A，交C₂于点B，则△POB的面积为．

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三、解答题

17. 解不等式组 ${\begin{array}{l} 4 x - 5 > 3 (x - 2) \\ \frac{x + 10}{3} > 2 x \end{array}$

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18. 已知 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ，求代数式 $(x - 2)^{2} + (x + 1) (x - 1)$ 的值．

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19. 已知：如图，锐角∠AOB．
求作：射线OP，使OP平分∠AOB．
作法：
①在射线OB上任取一点M；
②以点M为圆心，MO的长为半径画圆，分别交射线OA，OB于C，D两点；
③分别以点C，D为圆心，大于 $\frac{1}{2} C D$ 的长为半径画弧，在∠AOB内部两弧交于点H；
④作射线MH，交⊙M于点P；
⑤作射线OP．
射线OP即为所求．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接CD．
由作法可知MH垂直平分弦CD．
∴ $\overset{⌢}{C P} = \overset{⌢}{D P}$ （ ▲ ）（填推理依据）．
∴∠COP ＝ ▲ ．
即射线OP平分∠AOB．

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20. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB.

(1)、求证：△BDE∽△EFC.

(2)、设 $\frac{A F}{F C} = \frac{1}{2}$ ，
①若BC＝12，求线段BE的长；

②若△EFC的面积是20，求△ABC的面积.

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21. 如图，在矩形ABCD中，E为BC的中点，DF⊥AE ，垂足为F，AB＝6，BC＝4，求AE，DF的长．

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22. 如图，为了测量某条河的宽度，在河边的一岸边任意取一点A，又在河的另一岸边取两点B、C，测得∠α＝30°，∠β＝60°，量得BC长为100米．求河的宽度（结果保留根号）．

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23. 如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，作∠BCD＝∠A，CD与AB的延长线交于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．

(1)、求证：CD是⊙O的切线；

(2)、若CE＝2，DE＝4，求AC的长．

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24. 如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：m）与飞行时间x（单位：s）之间具有函数关系y=﹣5x²+20x，请根据要求解答下列问题：

(1)、在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？

(2)、在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？

(3)、在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？

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25. 如图，一次函数 $y_{1} = k x + b (k \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{m}{x} (m \neq 0)$ 的图象交于 $A (- 1 ， n)$ ， $B (3 ， - 2)$ 两点.

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、点 $P$ 在 $x$ 轴上，且满足 $△ A B P$ 的面积等于4，请直接写出点 $P$ 的坐标.

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26. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x - 5$ 经过点M（﹣1，1），N（2，﹣5）．

(1)、求a，b的值；

(2)、若P（4， $y_{1}$ ），Q（ $m$ ， $y_{2}$ ）是抛物线上不同的两点，且 $y_{2} = 22 - y_{1}$ ，求 $m$ 的值．

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27. 已知抛物线 $y = (m - 1) x^{2} - 2 m x + m + 1$ ．

(1)、求证：该抛物线与x轴有两个交点；

(2)、求出它的交点坐标（用含m的代数式表示）；

(3)、当两交点之间的距离是4时，求出抛物线的表达式．

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28. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ，D是AB上一点，⊙O经过点A、C、D，交BC于点E，过点D作 $D F / / B C$ ，交⊙O于点F，求证：

(1)、四边形DBCF是平行四边形

(2)、 $A F = E F$

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29. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB＝5，AC＝3．

(1)、求tanA的值；

(2)、若D为 $\overset{⌢}{A B}$ 的中点，连接CD、BD，求弦CD的长．

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