北京市西城区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-02-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图案中，可以看成轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列运算中，结果正确的是（）

A、 ${(a^{2})}^{3} = a^{5}$ B、 ${(3 a)}^{2} = 6 a^{2}$ C、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$ D、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{5}$

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3. 在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是（ )

A、① B、② C、③ D、④

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4. 如图是一个平分角的仪器，其中 $A B = A D$ ， $B C = D C$ ．将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线，这里判定 $△$ ABC和 $△$ ADC是全等三角形的依据是（）

A、SSS B、ASA C、SAS D、AAS

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5. 下列分式中，从左到右变形错误的是（）

A、 $\frac{c}{4 c} = \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a + b}$ C、 $\frac{1}{a - b} = - \frac{1}{b - a}$ D、 $\frac{a^{2} - 4}{a^{2} + 4 a + 4} = \frac{a - 2}{a + 2}$

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6. 已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（）

A、10 B、8 C、7 D、4

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7. 某校八年级一班计划安排一次以“迎冬奥”为主题的知识竞赛，班主任王老师打算到某文具店购买一些笔记本作为竞赛用的奖品．目前该文具店正在搞优惠酬宾活动：购买同样的笔记本，当花费超过20元时，每本便宜1元．已知王老师花费24元比花费20元多买了2本笔记本，求他花费24元买了多少本笔记本，设他花费24元买了x本笔记本，根据题意可列方程（）

A、 $\frac{24}{x} - \frac{20}{x - 2} = 1$ B、 $\frac{24}{x - 2} - \frac{20}{x} = 1$ C、 $\frac{20}{x - 2} - \frac{24}{x} = 1$ D、 $\frac{20}{x + 2} - \frac{24}{x} = 1$

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8. 在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），B（a，0），C（m，n）（ $m > 0$ ）．若 $△$ ABC是等腰直角三角形，且 $A B = B C$ ，当 $0 < a < 1$ 时，点C的横坐标m的取值范围是（）

A、 $0 < m < 2$ B、 $2 < m < 3$ C、 $m < 3$ D、 $m > 3$

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二、填空题

9. 计算：⑴ $2^{- 1}$ ＝；⑵ $(π - 1)^{0} =$ ．

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10. 若分式 $\frac{1}{x - 2}$ 有意义，则 $x$ 的取值范围是.

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11. 已知一个多边形的内角和为540°，则这个多边形是边形．

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12. 计算： $2 a b (3 a^{2} - 5 b) =$ ．

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13. 若 $a^{2} + k a + 9$ 是一个完全平方式，则k的值是．

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14. 如图1，将一个长为2a，宽为2b的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形（如图2），设图2中的大正方形面积为 $S_{1}$ ，小正方形面积为 $S_{2}$ ，则 $S_{1} - S_{2}$ 的结果是（用含a，b的式子表示）．

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15. 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（2，0），B（4，2），若点P在x轴下方，且以O，A，P为顶点的三角形与 $△$ OAB全等，则满足条件的P点的坐标是．

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16. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ B = 30 °$ ， $A C = 2$ ， $D$ 为 $B C$ 上一动点， $E F$ 垂直平分 $A D$ 分别交 $A C$ 于 $E$ 、交 $A B$ 于 $F$ ，则 $B F$ 的最大值为．

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三、解答题

17. 分解因式：

(1)、 $3 a^{2} - 6 a b + 3 b^{2}$ ；

(2)、 $x^{2} (m - 2) + y^{2} (2 - m)$ ．

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18.

(1)、计算： $(x - 8 y) (x + y$ ）；

(2)、先化简，再求值： $(a + 1 - \frac{3}{a - 1}) \div \frac{a^{2} - 4}{a^{2} - 2 a + 1}$ ，其中 $a = - 3$ ．

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19. 解方程： $\frac{x - 1}{x + 1} - \frac{2}{x^{2} - 1} = 1$ ．

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20. 如图，点A，B，C，D在一条直线上， $A E ∥ D F$ ， $A E = D F$ ， $A B = C D$ ．

(1)、求证： $△ A E C ≅ △ D F B$ ．

(2)、若 $∠ A = 40 °$ ， $∠ E C D = 145 °$ ，求∠F的度数．

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21. 如图， $8 \times 12$ 的长方形网格中，网格线的交点叫做格点．点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题：
平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是（－3，1），（－1，4），

(1)、①请在图中画出平面直角坐标系xOy；
②点C的坐标是 ▲ ，点C关于x轴的对称点 $C_{1}$ 的坐标是 ▲ ；

(2)、设l是过点C且平行于y轴的直线，
①点A关于直线l的对称点 $A_{1}$ 的坐标是 ▲ ；
②在直线l上找一点P，使 $P A + P B$ 最小，在图中标出此时点P的位置；
③若Q（m，n）为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点 $Q_{1}$ 的坐标（用含m，n的式子表示）．

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22. 已知：如图1，线段a，b（ $a > b$ ）．

(1)、求作：等腰 $△$ ABC，使得它的底边长为b，底边上的高的长为a．
作法：①作线段 $A B = b$ ．
②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．
③在MN上取一点C，使 $D C = a$ ．
④连接AC，BC，则 $△$ ABC就是所求作的等腰三角形．
用直尺和圆规在图2中补全图形（要求：保留作图痕迹）；

(2)、求作：等腰 $△$ PEF，使得它的腰长为线段a，b中一条线段的长，底边上的高的长为线段a，b中另一条线段的长．
作法：①作直线l，在直线l上取一点G．
②过点G作直线l的垂线GH．
③在GH上取一点P，使PG＝ ▲ ．
④以P为圆心，以 ▲ 的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F．
⑤连接PE，PF，则 $△$ PEF就是所求作的等腰三角形．
请补全作法，并用直尺和圆规在图3中补全图形（要求：保留作图痕迹）．

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23.

(1)、如果 $(x - 3) (x + 2) = x^{2} + m x + n$ ，那么m的值是，n的值是；

(2)、如果 $(x + a) (x + b) = x^{2} - 2 x + \frac{1}{2}$ ，
①求 $(a - 2) (b - 2)$ 的值；
②求 $\frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{b^{2}} + 1$ 的值．

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24. 在 $△$ ABC中， $∠ B A C = 120 °$ ， $A B = A C$ ， AD为 $△$ ABC的中线，点E是射线AD上一动点，连接CE，作 $∠ C E M = 60 °$ ，射线EM与射线BA交于点F．

(1)、如图1，当点E与点D重合时，求证： $A B = 2 A F$ ；

(2)、如图2，当点E在线段AD上，且与点A，D不重合时，
①依题意，补全图形；
②用等式表示线段AB，AF，AE之间的数量关系，并证明．

(3)、当点E在线段AD的延长线上，且 $E D \neq A D$ 时，直接写出用等式表示的线段AB，AF，AE之间的数量关系．

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25. 观察下列等式：
① $1 - 1 - \frac{1}{2} = - \frac{1}{1 \times 2}$ ；
② $\frac{1}{2} - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = - \frac{1}{3 \times 4}$ ；
③ $\frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{6} = - \frac{1}{5 \times 6}$ ；
④ $\frac{1}{4} - \frac{1}{7} - \frac{1}{8} = - \frac{1}{7 \times 8}$ ；
……
根据上述规律回答下列问题：

(1)、第⑤个等式是；

(2)、第n个等式是（用含n的式子表示，n为正整数）．

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26. 对于面积为S的三角形和直线l，将该三角形沿直线l折叠，重合部分的图形面积记为 $S_{0}$ ，定义 $\frac{S_{0}}{S - S_{0}}$ 为该三角形关于直线l的对称度．如图，将面积为S的 $△$ ABC沿直线l折叠，重合部分的图形为 $△ C^{^{'}} D E$ ，将 $△ C^{^{'}} D E$ 的面积记为 $S_{0}$ ，则称 $\frac{S_{0}}{S - S_{0}}$ 为 $△$ ABC关于直线l的对称度．
在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），B（－3，0），C（3，0）．

(1)、过点M（m，0）作垂直于x轴的直线 $l_{1}$ ，
①当 $m = 1$ 时， $△$ ABC关于直线 $l_{1}$ 的对称度的值是：
②若 $△$ ABC关于直线 $l_{1}$ 的对称度为1，则m的值是．

(2)、过点N（0，n）作垂直于y轴的直线 $l_{2}$ ，求△ABC关于直线 $l_{2}$ 的对称度的最大值．

(3)、点P（－4，0）满足 $A P = 5$ ，点Q的坐标为（t，0），若存在直线，使得 $△$ APQ关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数t的值．

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