北京市丰台区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-02-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 钢架雪车是 $2022$ 年北京冬奥会的比赛项目之一．下面这些钢架雪车运动标志是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 在物联网时代的所有芯片中， $14$ nm芯片正在成为需求的焦点. 已知 $n m$ 即纳米，是长度的度量单位， $1$ $n m$ = $1 \times 1 0^{- 9}$ $m$ ．将 $14$ $n m$ 用科学记数法表示正确的是（）

A、 $1.4 \times 1 0^{- 8}$ $m$ B、 $1.4 \times 1 0^{- 9}$ $m$ C、 $14 \times 1 0^{- 9}$ $m$ D、 $1.4 \times 1 0^{- 10}$ $m$

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3. 下列图形中，内角和等于外角和的是（）

A、 B、 C、 D、

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4. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ B、 $a^{2} \cdot a^{3} = a^{6}$ C、 $a^{9} \div a^{3} = a^{3}$ D、 $(- a^{2})^{3} = - a^{6}$

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5. 将三根木条钉成一个三角形木架，这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是（）

A、SSS B、SAS C、ASA D、AAS

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6. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A D = C D$ ， $A B = C B$ ，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．下列关于筝形的结论正确的是（）

A、对角线AC，BD互相垂直平分 B、对角线BD平分∠ABC，∠ADC C、直线AC，BD是筝形的两条对称轴 D、筝形的面积等于对角线AC与BD的乘积

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7. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $△$ $D E F$ 可以看作是 $△$ $A B C$ 经过若干次图形的变化（平移、轴对称）得到的，下列由 $△$ $A B C$ 得到 $△$ $D E F$ 的变化过程错误的是（）

A、将 $△$ $A B C$ 沿 $x$ 轴翻折得到 $△$ $D E F$ B、将 $△$ $A B C$ 沿直线 $y = 1$ 翻折，再向下平移 $2$ 个单位得到 $△$ $D E F$ C、将 $△$ $A B C$ 向下平移 $2$ 个单位，再沿直线 $y = 1$ 翻折得到 $△$ $D E F$ D、将 $△$ $A B C$ 向下平移 $4$ 个单位，再沿直线 $y = - 2$ 翻折得到 $△$ $D E F$

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8. “杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释 $(a + b)^{n}$ （ $n$ ＝ $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， 5，6）的展开式的系数规律．例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数 $1$ ， $2$ ， $1$ ，恰好对应着 $(a + b)^{2}$ 展开式 $a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 中各项的系数；第4行的4个数 $1$ ， $3$ ， $3$ ， $1$ ，恰好对应着 $(a + b)^{3}$ 展开式 $a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ 中各项的系数，等等．当n是大于6的自然数时，上述规律仍然成立，那么 $(a - \frac{1}{a})^{9}$ 展开式中 $a^{7}$ 的系数是（）

A、 $9$ B、 $- 9$ C、 $36$ D、 $- 36$

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二、填空题

9. 分式 $\frac{1}{m - 2}$ 有意义，则 $m$ 的取值范围是．

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10. 如图是两个全等的三角形，图中字母表示三角形的边长，则∠ $1$ 的度数为°.

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11. 分解因式： $3 x^{2} - 3 y^{2} =$ .

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12. 如图，在△ABC 和△DBC，BA=BD中，请你添加一个条件使得△ABC ≌△DBC，这个条件可以是（写出一个即可）．

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13. 等腰三角形的两边长分别是 $4$ 和 $9$ ，则它的周长为．

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14. 如图，在等边三角形 $A B C$ 中， $A B = 2$ ， $B D$ 是 $A C$ 边的高线，延长 $B C$ 至点 $E$ ，使 $C E$ $= C D$ ，则BE的长为．

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15. 当 $\frac{a}{b} = \frac{1}{2}$ 时，式子 $(\frac{a^{2} + b^{2}}{a} - 2 b) \cdot \frac{a + b}{a^{2} - b^{2}}$ 的值为．

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16. 在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点 $A$ 的坐标为（ $2$ ， 4），点 $B$ 的坐标为（ $1$ ， 1），点 $C$ 为第一象限内的整点，不共线的 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点构成轴对称图形，则点 $C$ 的坐标可以是（写出一个即可），满足题意的点 $C$ 的个数为．

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三、解答题

17. 计算： $(x + 2) (x - 3)$ ．

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18. 计算： $\sqrt{4} + 2^{- 2} - (2 - π)^{0}$ ．

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19. 计算： $\frac{a}{a^{2} - a b} - \frac{1}{a + b}$ ．

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20. 先化简，再求值： $(2 x + 1)^{2} - (2 x + 1) (2 x - 1)$ ，其中 $x = - \frac{1}{4}$ ．

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21. 如图，点D在 $A B$ 上，点E在 $A C$ 上， $A B = A C$ ， $∠ B = ∠ C$ ，求证： $A D = A E$ .

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22. 解方程： $\frac{2 x}{3 x + 3}$ +1＝ $\frac{x}{x + 1}$ .

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23. 如图，在 $△ A B C$ 中，∠ $A C B = 90$ °，∠ $A = 30$ °， $C D$ ⊥AB于点D， $D E ∥ B C$ 交AC于点E，如果 $B D = 2$ ，求 $D E$ 的长．

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24. 下面是小东设计的尺规作图过程．
已知：如图，在Rt $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90$ °．
求作：点 $D$ ，使得点 $D$ 在 $B C$ 边上，且到 $A B$ 和 $A C$ 的距离相等．
作法：①如图，以点 $A$ 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $M$ ， $N$ ；
②分别以点 $M$ ， $N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} M N$ 为半径画弧，两弧交于点 $P$ ；
③画射线 $A P$ ，交 $B C$ 于点 $D$ ．
所以点 $D$ 即为所求．
根据小东设计的尺规作图过程，

(1)、使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

(2)、完成下面的证明．
证明：过点 $D$ 作 $D E ⊥ A C$ 于点 $E$ ，连接 $M P ， N P$ ．
在 $△ A M P$ 和 $△ A N P$ 中，
∵ $A M = A N$ ， $M P = N P$ ， $A P = A P$ ，
∴ $△ A M P$ ≌ $△ A N P$ （SSS）．
∴∠ ▲ =∠ ▲ .
∵∠ $A B C$ =90°，
∴ $D B ⊥ A B$ .
∵ $D E ⊥ A C$ ，
∴ $D B = D E$ （ ▲ ）．

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25. 北京市以 $2022$ 年冬奥会和冬残奥会为契机，大力提升城市服务保障能力，在永定河沿岸，紧邻北京冬奥组委和首钢滑雪大跳台建成冬奥公园．冬奥公园最大的亮点是拥有一条长 $42 k m$ 全封闭的马拉松跑道．马拉松线路设计很有创意，分为智慧跑、公园跑、滨水跑和堤上跑．小明先进行了 $2 k m$ 智慧跑，接着进行了 $4 k m$ 堤上跑，共用时 $40$ 分钟．已知小明在堤上跑路段的平均速度是他在智慧跑路段的平均速度的 $1.5$ 倍，求小明在进行智慧跑和堤上跑时的平均速度．

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26. 在“整式乘法与因式分解”这一章的学习过程中，我们常采用构造几何图形的方法对代数式的变形加以说明．例如，利用图 $1$ 中边长分别为a，b的正方形，以及长为a，宽为b的长方形卡片若干张拼成图2（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释完全平方公式： $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ．
请你解答下面的问题：

(1)、利用图1中的三种卡片若干张拼成图 $3$ ，可以解释等式：；

(2)、利用图1中三种卡片若干张拼出一个面积为 $2 a^{2} + 5 a b + 2 b^{2}$ 的长方形ABCD，请你分析这个长方形的长和宽．

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27. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A B C = α$ ，点 $D$ 是直线 $B C$ 上一点，点 $C$ 关于射线 $A D$ 的对称点为点 $E$ . 作直线 $B E$ 交射线 $A D$ 于点 $F$ ，连接CF．

(1)、如图 $1$ ，点 $D$ 在线段 $B C$ 上，补全图形，求 $∠ A F B$ 的大小（用含 $α$ 的代数式表示）；

(2)、如果∠ $α = 60$ °．
①如图 $2$ ，当点 $D$ 在线段 $B C$ 上时，用等式表示线段 $A F$ ， $C F$ ， $B F$ 之间的数量关系，并证明；
②如图 $3$ ，当点 $D$ 在线段 $C B$ 的延长线上（不与点 $C$ 重合）时，直接写出线段 $A F$ ， $C F$ ， $B F$ 之间的数量关系．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，作直线l垂直 $x$ 轴于点 $P$ （ $a$ ， $0$ ），已知点 $A$ （ $1$ ， $1$ ），点 $B$ （ $1$ ， $5$ ），以 $A B$ 为斜边作等腰直角三角形 $A B C$ ，点 $C$ 在第一象限． $△ A B C$ 关于直线l的对称图形是 $△ A B C$ ．给出如下定义：如果点M在 $△ A B C$ 上或内部，那么称点M是△ABC关于直线l的“称心点”．

(1)、当 $a = 0$ 时，在点 $D$ （ $- \frac{3}{2}$ ， $3$ ）， $E$ （ $- 2$ ， $2$ ）， $F$ （ $- 3$ ， $4$ ）中， $△ A B C$ 关于直线l 的“称心点”是；

(2)、当 $△ A B C$ 上只有1个点是 $△ A B C$ 关于直线l的“称心点”时，直接写出 $a$ 的值；

(3)、点H是 $△ A B C$ 关于直线l 的“称心点”，且总有 $△ H B C$ 的面积大于 $△ A B C$ 的面积，求 $a$ 的取值范围．

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