北京市东城区2021-2022学年八年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-02-13 类型：期末考试

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一、单选题

1. 在第32届夏季奥林匹克运动会（即2020年东京奥运会）上，中国健儿勇于挑战，超越自我，生动诠释了奥林匹克精神和中华体育精神，共获得38金32银18铜的骄人战绩．在下列的运动标识中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 肥皂属于碱性，碱性会破坏细菌的内部结构，对去除细菌有很强的效果，用肥皂洗手对预防传染疾病起到很重要的作用．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0000007m，将数字0.0000007用科学记数法表示应为（）

A、 $7 \times 1 0^{- 6}$ B、 $0.7 \times 1 0^{- 6}$ C、 $7 \times 1 0^{- 7}$ D、 $0.7 \times 1 0^{- 7}$

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3. 下列各式计算正确的是（）

A、 $a^{2} + a^{4} = a^{8}$ B、 ${(2 a b)}^{4} = 2 a^{4} b^{4}$ C、 ${(a^{4})}^{2} = a^{8}$ D、 $a^{8} \div a^{2} = a^{4}$

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4. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）

A、 $x^{2} - x + 1 = x (x - 1) + 1$ B、 $x (y + x) = x y + x^{2}$ C、 $(x + y) (x - y) = x^{2} - y^{2}$ D、 $x^{2} - 2 x y + y^{2} = {(x - y)}^{2}$

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5. 下列分式中是最简分式的是（）

A、 $\frac{6 x^{2}}{9 x}$ B、 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x + y}$ C、 $\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x + 2}$ D、 $\frac{x^{2} - 1}{x - 1}$

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6. 如图，BD是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ∥ B C$ ，交AB于点E．若 $∠ A = 30 °$ ， $∠ B D C = 50 °$ ，则 $∠ B D E$ 的度数是（）

A、10° B、20° C、30° D、50°

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7. 如图， $∠ A = ∠ D = 90 °$ ， AC，BD相交于点O．添加一个条件，不一定能使 $△ A B C$ ≌ $△ D C B$ 的是（）

A、 $A B = D C$ B、 $O B = O C$ C、 $∠ A B O = ∠ D C O$ D、 $∠ A B C = ∠ D C B$

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8. 如图，在 $△ A B E$ 中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，连接AC．若 $A B = A C$ ， $C E = 5$ ， $B C = 6$ ，则 $△ A B C$ 的周长等于（）

A、11 B、16 C、17 D、18

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9. 若 $(m x + 3) (x^{2} - x - n)$ 的运算结果中不含 $x^{2}$ 项和常数项，则m，n的值分别为（）

A、 $m = 0$ ， $n = 0$ B、 $m = 0$ ， $n = 3$ C、 $m = 3$ ， $n = 1$ D、 $m = 3$ ， $n = 0$

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10. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK+CK的最小值是以下条线段的长度（）

A、EF B、AB C、AC D、BC

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二、填空题

11. 分解因式： $a^{2} b - 4 b =$ .

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12. 当x时，分式 $\frac{1}{x - 2}$ 有意义．

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13. ${(\frac{1}{2})}^{- 2} =$ ．

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14. 若一个正多边形的每一个外角都等于 $60 °$ ，则这个正多边形的边数为．

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15. 如图，点 $B$ 、 $D$ 、 $E$ 、 $C$ 在一条直线上，若 $△ A B D ≌ △ A C E$ ， $B C = 12$ ， $B D = 3$ ，则 $D E$ 的长为.

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16. 如图，BD，CE是等边三角形ABC的中线，BD，CE交于点F，则 $∠ B F C =$ °．

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17. 如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释一个等式是．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 6$ ， $B C = 8$ ，点C在直线l上．点P从点A出发，在三角形边上沿 $A \to C \to B$ 的路径向终点B运动；点Q从B点出发，在三角形边上沿 $B \to C \to A$ 的路径向终点A运动．点P和Q分别以1单位/秒和2单位/秒的速度同时开始运动，在运动过程中，若有一点先到达终点时，该点停止运动，另一个点要继续运动，直到两点都到达相应的终点时整个运动才能停止．在某时刻，分别过P和Q作 $P E ⊥ l$ 于点E， $Q F ⊥ l$ 于点F，则点P的运动时间等于秒时， $△ P E C$ 与 $△ C F Q$ 全等．

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三、解答题

19. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C < B C$ ．分别以点A，B为圆心，大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．

(1)、使用直尺和圆规完成作图过程（保留作图痕迹）；

(2)、通过作图过程，可以发现直线DE是线段AB的， $△ A F H$ 是三角形；

(3)、若 $B C = 4$ ，则 $△ A F H$ 的周长为．

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20. 计算： $a \cdot a^{3} - {(a^{2})}^{2} + 2 a^{6} \div a^{2}$ ．

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21.

(1)、已知： $m^{2} + 3 m - 2 = 0$ ，求代数式 $(m + 2) (2 m - 1) + {(m + 3)}^{2}$ 的值．

(2)、先化简 $\frac{x + 2}{x^{2} + 2 x + 1} \div \frac{x^{2}}{x + 1} - \frac{1}{x^{2} + x}$ ，然后选一个合适的x值代入，求出代数式的值．

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22. 解分式方程： $1 + \frac{4}{x - 5} = \frac{2 x}{5 - x}$ ．

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23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l是第一、三象限的角平分线．已知 $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (3 ， 1)$ ， $B (4 ， 3)$ ， $C (6 ， 0)$ ．

(1)、若 $△ A B C$ 与 $△ A B C$ 关于y轴对称，画出 $△ A B C$ ；

(2)、若在直线l上存在点P，使 $△ A B P$ 的周长最小，则点P的坐标为．

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24. 如图，AD是 $△ A B C$ 的高，CE是 $△ A D C$ 的角平分线．若 $∠ B A D = ∠ E C D$ ， $∠ B = 70 °$ ，求 $∠ C A D$ 的度数．

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25. 如图，在四边形ABCD中，E是CB上一点，分别延长AE，DC相交于点F， $A B = C F$ ， $∠ C E A = ∠ B + ∠ F$ ．

(1)、求证： $∠ E A B = ∠ F$ ；

(2)、若 $B C = 10$ ，求BE的长．

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26. 列方程解应用题：2021年9月23日，我国迎来第四个中国农民丰收节．在庆祝活动中记者了解到：某种粮大户2020年所种粮食总产量约150吨．在强农惠农富农政策的支持下，2021年该农户种粮积极性不断提高，他不仅扩大耕地面积，而且亩产量也大幅提高，因此取得大丰收．已知他2021年比2020年增加20亩耕地，亩产量是2020年的1.2倍，总产量约216吨，那么2020年该农户所种粮食的亩产量约为多少吨？

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27. 在等腰 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D是BC边上的一个动点（点D不与点B，C重合），连接AD，作等腰 $△ A D E$ ，使 $A D = A E$ ， $∠ D A E = ∠ B A C$ ，点D，E在直线AC两旁，连接CE．

(1)、如图1，当 $∠ B A C = 90 °$ 时，直接写出BC与CE的位置关系；

(2)、如图2，当 $0 ° < ∠ B A C < 90 °$ 时，过点A作 $A F ⊥ C E$ 于点F，请你在图2中补全图形，用等式表示线段BD，CD， $2 E F$ 之间的数量关系，并证明．

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28. 在平面直角坐标系xOy中，将点 $M (x ， y)$ 到x轴和y轴的距离的较大值定义为点M的“相对轴距”，记为 $d (M)$ ．即：如果 $| x | \geq | y |$ ，那么 $d (M) = | x |$ ；如果 $| x | < | y |$ ，那么 $d (M) = | y |$ ．例如：点 $M (1 ， 2)$ 的“相对轴距” $d (M) = 2$ ．

(1)、点 $P (- 2 ， 1)$ 的“相对轴距” $d (P) =$ ；

(2)、请在图1中画出“相对轴距”与点 $P (- 2 ， 1)$ 的“相对轴距”相等的点组成的图形；

(3)、已知点 $A (1 ， 1)$ ， $B (2 ， 3)$ ， $C (3 ， 2)$ ，点M，N是 $△ A B C$ 内部（含边界）的任意两点．
①直接写出点M与点N的“相对轴距”之比 $\frac{d (M)}{d (N)}$ 的取值范围；
②将 $△ A B C$ 向左平移 $k (k > 0)$ 个单位得到 $△ A B C$ ，点 $M$ 与点 $N$ 为 $△ A B C$ 内部（含边界）的任意两点，并且点 $M$ 与点 $N$ 的“相对轴距”之比 $\frac{d (M)}{d (N)}$ 的取值范围和点M与点N的“相对轴距”之比 $\frac{d (M)}{d (N)}$ 的取值范围相同，请直接写出k的取值范围．

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