备考2022届中考数学全国精选题汇编专题5 方程及不等式拓展

试卷更新日期：2022-02-11 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 关于x的不等式 ${\begin{array}{l} x - m > 0 \\ 7 - 2 x > 1 \end{array}$ 的整数解只有4个，则m的取值范围是（）

A、 $- 2 < m \leq - 1$ B、 $- 2 \leq m \leq - 1$ C、 $- 2 \leq m < - 1$ D、 $- 3 < m \leq - 2$

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2. 《孙子算经》中有一道题，原文是“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，可列方程组为（）

A、 ${\begin{array}{l} x = y + 4.5 \\ \frac{1}{2} x = y + 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ \frac{1}{2} y = x + 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x = y + 4.5 \\ \frac{1}{2} x = y - 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ \frac{1}{2} y = x - 1 \end{array}$

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3. 若关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} 2 x + 3 > 12 \\ x - a \leq 0 \end{array}$ 恰有3个整数解，则实数a的取值范围是（）

A、 $7 < a < 8$ B、 $7 < a \leq 8$ C、 $7 \leq a < 8$ D、 $7 \leq a \leq 8$

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4. 我国古代数学古典名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”其大意是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量，木条还剩余1尺；问长木多少尺？如果设木条长为x尺，绳子长为y尺，则下面所列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ \frac{1}{2} y = x - 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y = x - 4.5 \\ \frac{1}{2} y = x + 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ 2 y = x - 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y = x - 4.5 \\ 2 y = x + 1 \end{array}$

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5. 某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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6. 已知关于x的一元二次方程 $a x^{2} - 4 x - 1 = 0$ 有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）

A、 $a \geq - 4$ B、 $a > - 4$ C、 $a \geq - 4$ 且 $a \neq 0$ D、 $a > - 4$ 且 $a \neq 0$

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7. 九章算术中记载了一个问题，大意是：甲、乙两人各带了若干钱.若甲得到乙所有钱的一半，则甲共有钱50.若乙得到甲所有钱的 $\frac{2}{3}$ ，则乙也共有钱50.甲、乙两人各带了多少钱?设甲带了钱 $x$ ，乙带了钱 $y$ ，依题意，下面所列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} x + \frac{1}{2} y = 50 \\ \frac{2}{3} x + y = 50 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} \frac{1}{2} x + y = 50 \\ x + \frac{2}{3} y = 5 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} x + \frac{1}{2} y = 50 \\ x + \frac{2}{3} y = 50 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} \frac{1}{2} x + y = 50 \\ \frac{2}{3} x + y = 50 \end{array}$

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8. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是x，则根据题意，下列方程正确的是（）

A、16（1﹣x）²＝9 B、9（1+x）²＝16 C、16（1﹣2x）＝9 D、9（1+2x）＝16

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9. 关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不相等的实根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，若 $x_{2} = 2 x_{1}$ ，则 $4 b - 9 a c$ 的最大值是（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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10. 某蔬菜种植基地2018年的蔬菜产量为800吨，2020年的蔬菜产量为968吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为x，则年平均增长率x应满足的方程为（）

A、 $800 {(1 - x)}^{2} = 968$ B、 $800 {(1 + x)}^{2} = 968$ C、 $968 {(1 - x)}^{2} = 800$ D、 $968 {(1 + x)}^{2} = 800$

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11. 已知关于x的一元二次方程x²－kx＋k－3＝0的两个实数根分别为 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 5$ ，则k的值是（）

A、－2 B、2 C、－1 D、1

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12. 若直角三角形的两边长分别是方程 $x^{2} - 7 x + 12 = 0$ 的两根，则该直角三角形的面积是（）

A、6 B、12 C、12或 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$ D、6或 $\frac{3 \sqrt{7}}{2}$

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13. 已知二元一次方程组 ${\begin{matrix} 2 x - y = 5 \\ x - 2 y = 1 \end{matrix}$ ，则x﹣y的值为（）

A、2 B、6 C、﹣2 D、﹣6

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14. 随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降.两年前生产一吨药的成本是5000元，现在生产一吨药的成本是4050元.设生产成本的年平均下降率为 $x$ ，下面所列方程正确的是（）

A、 $5000 {(1 + x)}^{2} = 4050$ B、 $4050 {(1 + x)}^{2} = 5000$ C、 $5000 {(1 - x)}^{2} = 4050$ D、 $4050 {(1 - x)}^{2} = 5000$

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15. 若m、n是一元二次方程x²＋3x﹣9＝0的两个根，则 $m^{2} + 4 m + n$ 的值是（）

A、4 B、5 C、6 D、12

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16. 若关于x的分式方程 $\frac{x}{x - 2} - 3 = \frac{m}{x - 2}$ 有增根，则m的值是（）

A、1 B、﹣1 C、2 D、﹣2

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二、填空题

17. 关于x的方程x²﹣x﹣1＝0的两根分别为x₁、x₂则x₁+x₂﹣x₁•x₂的值为 .

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18. 若m，n是一元二次方程 $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ 的两个实数根，则 $\frac{m^{3} + m^{2} n}{3 m - 1}$ 的值为.

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19. 实数 $m$ ， $n$ 是一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的两个根，则多项式 $m n - m - n$ 的值为.

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20. 如果关于x的不等式组 ${\begin{array}{l} - (x - a) < 3 \\ \frac{1 + 2 x}{3} ⩾ x - 1 \end{array}$ 恰有2个整数解，则a的取值范围是.

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21. 不等式组 ${\begin{matrix} 5 x + 2 > 3 (x - 1) \\ \frac{1}{2} x - 1 \leq 7 - \frac{3}{2} x \end{matrix}$ 的解集是.

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22. 端午节是中国传统节日，人们有吃粽子的习俗.某商场从6月12日起开始打折促销，肉粽六折，白粽七折，打折前购买4盒肉粽和5盒白粽需350元，打折后购买5盒肉粽和10盒白粽需360元.轩轩同学想在今天中考结束后，为敬老院送肉粽和白粽各5盒，则他6月13日购买的花费比在打折前购买节省元.

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23. 若关于x的分式方程 $2 - \frac{1 - k}{x - 2} = \frac{1}{2 - x}$ 的解是正数，则k的取值范围是.

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24. 已知一元二次方程 $x^{2} + x - 2021 = 0$ 的两根分别为m，n，则 $\frac{1}{m} + \frac{1}{n}$ 的值为.

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25. 关于x的一元二次方程x²﹣5x+m＝0有两个相等的实数根，则m＝.

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26. 分式方程 $\frac{1}{x - 2} + \frac{1 - x}{2 - x} = 3$ 的解是.

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27. 不等式组 ${\begin{array}{l} x + 2 \geq 4 x - 1 \\ 2 x > 1 - x \end{array}$ 的解集是.

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28. 据统计，2021年第一季度宜宾市实现地区生产总值约652亿元，若使该市第三季度实现地区生产总值960亿元，设该市第二、三季度地区生产总值平均增长率为x，则可列方程.

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三、计算题

29.

(1)、解方程： $x^{2} - 4 x - 5 = 0$

(2)、解不等式组： ${\begin{matrix} 2 x - 1 \leq 3 \\ x + 2 > 3 x + 8 \end{matrix}$

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30.

(1)、化简求值： ${(2 x - 1)}^{2} + (x + 6) (x - 2)$ ，其中 $x = - \sqrt{3}$ ；

(2)、解方程 $\frac{2}{x - 3} - \frac{3}{x} = 0$ .

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31.

(1)、计算： $\sqrt{8} + {(π + 2)}^{0} + {(- 1)}^{2021} - 2 \cos 45^{\circ}$ ；

(2)、解分式方程： $\frac{x - 3}{x - 2} + 1 = \frac{3}{2 - x}$ .

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32. 解方程组和不等式组：

(1)、 ${\begin{array}{l} x + y = 0 \\ 2 x - y = 3 \end{array}$

(2)、 ${\begin{array}{l} 3 x + 6 > 0 \\ x - 2 < - x \end{array}$

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四、解答题

33. 解不等式组： ${\begin{matrix} 3 (x - 1) > x \\ 1 - 2 x \geq \frac{x - 3}{2} \end{matrix}$ ，并在数轴上表示它的解集.

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34. $x$ 取哪些正整数值时，不等式 $5 x + 2 > 3 (x - 1)$ 与 $\frac{2 x - 1}{3} \leq \frac{3 x + 1}{6}$ 都成立?

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35. 为落实节约用水的政策，某旅游景点进行设施改造，将手拧水龙头全部更换成感应水龙头.已知该景点在设施改造后，平均每天用水量是原来的一半，20吨水可以比原来多用5天，该景点在设施改造后平均每天用水多少吨？

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五、综合题

36. 甲，乙两人去市场采购相同价格的同一种商品，甲用2400元购买的商品数量比乙用3000元购买的商品数量少10件．

(1)、求这种商品的单价；

(2)、甲，乙两人第二次再去采购该商品时，单价比上次少了20元/件，甲购买商品的总价与上次相同，乙购买商品的数量与上次相同，则甲两次购买这种商品的平均单价是元/件，乙两次购买这种商品的平均单价是元/件．

(3)、生活中，无论油价如何变化，有人总按相同金额加油，有人总按相同油量加油，结合（2）的计算结果，建议按相同加油更合算（填“金额”或“油量”）．

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37.

(1)、分解因式：x³﹣9x；

(2)、解方程： $\frac{2 x}{x - 2}$ +1＝ $\frac{5}{2 - x}$ .

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38. 2020年以来，新冠肺炎的蔓延促使世界各国在线教育用户规模不断增大.网络教师小李抓住时机，开始组建团队，制作面向 $A$ 、 $B$ 两个不同需求学生群体的微课视频.已知制作3个 $A$ 类微课和5个 $B$ 类微课需要4600元成本，制作5个 $A$ 类微课和10个 $B$ 类微课需要8500元成本.李老师又把做好的微课出售给某视频播放网站，每个 $A$ 类微课售价1500元，每个 $B$ 类微课售价1000元.该团队每天可以制作1个 $A$ 类微课或者1.5个 $B$ 类微课，且团队每月制作的 $B$ 类微课数不少于 $A$ 类微课数的2倍（注：每月制作的 $A$ 、 $B$ 两类微课的个数均为整数）.假设团队每月有22天制作微课，其中制作 $A$ 类微课 $a$ 天，制作 $A$ 、 $B$ 两类微课的月利润为 $w$ 元.

(1)、求团队制作一个 $A$ 类微课和一个 $B$ 类微课的成本分别是多少元？

(2)、求 $w$ 与 $a$ 之间的函数关系式，并写出 $a$ 的取值范围；

(3)、每月制作 $A$ 类微课多少个时，该团队月利润 $w$ 最大，最大利润是多少元？

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39. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - 6 x + 2 m - 1 = 0$ 有 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 两实数根.

(1)、若 $x_{1} = 1$ ，求 $x_{2}$ 及 $m$ 的值；

(2)、是否存在实数 $m$ ，满足 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = \frac{6}{m - 5}$ ？若存在，求出求实数 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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40. “七•一”建党节前夕，某校决定购买A，B两种奖品，用于表彰在“童心向党”活动中表现突出的学生.已知A奖品比B奖品每件多25元，预算资金为1700元，其中800元购买A奖品，其余资金购买B奖品，且购买B奖品的数量是A奖品的3倍.

(1)、求A，B奖品的单价；

(2)、购买当日，正逢该店搞促销活动，所有商品均按原价八折销售，故学校调整了购买方案：不超过预算资金且购买A奖品的资金不少于720元，A，B两种奖品共100件，求购买A，B两种奖品的数量，有哪几种方案？

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