备考2022届中考数学全国精选题汇编专题3 解直角三角形及应用

试卷更新日期：2022-02-09 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 如图，在边长为2的正方形ABCD中，若将AB绕点A逆时针旋转 $60 °$ ，使点B落在点 $B^{'}$ 的位置，连接B $B^{'}$ ，过点D作DE⊥ $B B^{'}$ ，交 $B B^{'}$ 的延长线于点E，则 $B^{'} E$ 的长为（）

A、 $\sqrt{3} - 1$ B、 $2 \sqrt{3} - 2$ C、 $\frac{2}{3} \sqrt{3}$ D、 $\frac{4}{3} \sqrt{3}$

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2. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD.其中 $A D // B C$ ， $∠ A B C = 45 °$ ， $∠ D C B = 30 °$ ，斜坡AB长8m.则斜坡CD的长为（）

A、 $6 \sqrt{2} m$ B、 $8 \sqrt{2} m$ C、 $4 \sqrt{6} m$ D、 $\sqrt{3} m$

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3. 如图， $△ A B C$ 底边 $B C$ 上的高为 $h_{1}$ ， $△ P Q R$ 底边 $Q R$ 上的高为 $h_{2}$ ，则有（）

A、 $h_{1} = h_{2}$ B、 $h_{1} < h_{2}$ C、 $h_{1} > h_{2}$ D、以上都有可能

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二、填空题

4. 如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东 $60 °$ 方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东 $45 °$ 方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为海里（结果保留根号）.

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5. 高速公路上有一种标线叫纵向减速标线，外号叫鱼骨线，作用是为了提醒驾驶员在开车时减速慢行.如图，用平行四边形 $A B C D$ 表示一个“鱼骨”， $A B$ 平行于车辆前行方向， $B E ⊥ A B ， ∠ C B E = α$ ，过B作 $A D$ 的垂线，垂足为 $A^{'}$ （A点的视觉错觉点），若 $\sin α = 0.05 ， A B = 300 mm$ ，则 $A A^{'} =$ $mm$ .

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6. 图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE与地面平行，支撑杆AD，BC可绕连接点O转动，且 $O A = O B$ ，椅面底部有一根可以绕点H转动的连杆HD，点H是CD的中点，FA，EB均与地面垂直，测得 $F A = 54 cm$ ， $E B = 45 cm$ ， $A B = 48 cm$ .

(1)、椅面CE的长度为cm.

(2)、如图3，椅子折叠时，连杆HD绕着支点H带动支撑杆AD，BC转动合拢，椅面和连杆夹角 $∠ C H D$ 的度数达到最小值 $30 °$ 时，A，B两点间的距离为cm（结果精确到0.1cm）.（参考数据： $\sin 15 ° \approx 0.26$ ， $\cos 15 ° \approx 0.97$ ， $\tan 15 ° \approx 0.27$ ）

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三、解答题

7. 如图，游客从旅游景区山脚下的地面A处出发，沿坡角α＝30°的斜坡AB步行50m至山坡B处，乘直立电梯上升30m至C处，再乘缆车沿长为180m的索道CD至山顶D处，此时观测C处的俯角为19°30′，索道CD看作在一条直线上.求山顶D的高度.（精确到1m，sin19°30′≈0.33，cos19°30′≈0.94，tan19°30′≈0.35）

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8. 有诗云：东山雨霁画屏开，风卷松声入耳来.一座楼阁镇四方，团结一心建家乡.1987年为庆祝湘西自治州成立三十周年，湘西州政府在花果山公园内修建了一座三层楼高的“一心阁”民族团结楼阁.芙蓉学校数学实践活动小组为测量“一心阁” $C H$ 的高度，在楼前的平地上A处，观测到楼顶 $C$ 处的仰角为30°，在平地上 $B$ 处观测到楼顶 $C$ 处的仰角为 $45 °$ ，并测得A、 $B$ 两处相距 $20 m$ ，求“一心阁” $C H$ 的高度.（结果保留小数点后一位，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} = 1.73$ ）

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9. “2021湖南红色文化旅游节﹣﹣重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行，该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量.如图所示，在山坡上的A点测得塔底B的仰角∠BAC＝13°，塔顶D的仰角∠DAC＝38°，斜坡AB＝50米，求宝塔BD的高（精确到1米）.
（参考数据：sin13°≈0.22，cos13°≈0.97，tan13°≈0.23，sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）

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10. 如图，建筑物 $B C$ 上有一旗杆 $A B$ ，从与 $B C$ 相距 $20 m$ 的 $D$ 处观测旗杆项部 $A$ 的仰角为52°，观测旗杆底部 $B$ 的仰角为45°，求旗杆 $A B$ 的高度（结果保留小数点后一位.参考数据： $\sin 52 ° \approx 0.79$ ， $\cos 52 ° \approx 0.62$ ， $\tan 52 ° \approx 1.28$ ， $\sqrt{2} \approx 1.41$ ）.

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11. 如图，莽山五指峰景区新建了一座垂直观光电梯.某测绘兴趣小组为测算电梯AC的高度，测得斜坡AB＝105米，坡度i＝1：2，在B处测得电梯顶端C的仰角α＝45°，求观光电梯AC的高度.
（参考数据： $\sqrt{2}$ ≈1.41， $\sqrt{3}$ ≈1.73， $\sqrt{5}$ ≈2.24.结果精确到0.1米）

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12. 张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点.某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度.如图，在桥面正下方的谷底选一观测点 $A$ ，观测到桥面 $B$ ， $C$ 的仰角分别为 $30 ° ， 60 °$ ，测得 $B C$ 长为320米，求观测点 $A$ 到桥面 $B C$ 的距离.（结果保留整数，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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13. 在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树 $C D$ 的高度.如图所示，测得斜坡 $B E$ 的坡度 $i = 1 ： 4$ ，坡底 $A E$ 的长为8米，在 $B$ 处测得树 $C D$ 顶部 $D$ 的仰角为 $30 °$ ，在 $E$ 处测得树 $C D$ 顶部 $D$ 的仰角为 $60 °$ ，求树高 $C D$ .（结果保留根号）

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14. 在一次测量物体高度的数学实践活动中，小明从一条笔直公路上选择三盏高度相同的路灯进行测量．如图，他先在点B处安置测倾器，于点A处测得路灯MN顶端的仰角为 $10 °$ ，再沿BN方向前进10米，到达点D处，于点C处测得路灯PQ顶端的仰角为 $27 °$ ．若测倾器的高度为1.2米，每相邻两根灯柱之间的距离相等，求路灯的高度（结果精确到0.1米）．
（参考数据： $\sin 10 ° \approx 0.17$ ， $\cos 10 ° \approx 0.98$ ， $\tan 10 ° \approx 0.18$ ， $\sin 27 ° = 0.45$ ， $\cos 27 ° \approx 0 .89$ ， $\tan 27 ° \approx 0.51$ ）

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15. 如图，在一座山的前方有一栋住宅，已知山高 $A B = 120$ m，楼高 $C D = 99$ m，某天上午9时太阳光线从山顶点 $A$ 处照射到住宅的点 $E$ 外.在点 $A$ 处测得点 $E$ 的俯角 $∠ E A M = 45 °$ ，上午10时太阳光线从山顶点 $A$ 处照射到住宅点 $F$ 处，在点 $A$ 处测得点 $F$ 的俯角 $∠ F A M = 60 °$ ，已知每层楼的高度为3m， $E F = 40$ m，问：以当天测量数据为依据，不考虑季节天气变化，至少要买该住宅的第几层楼，才能使上午10时太阳光线照射到该层楼的外墙？（ $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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16. 一架无人机沿水平直线飞行进行测绘工作，在点P处测得正前方水平地面上某建筑物AB的顶端A的俯角为30°，面向AB方向继续飞行5米，测得该建筑物底端B的俯角为45°，已知建筑物AB的高为3米，求无人机飞行的高度(结果精确到1米，参考数据： $\sqrt{2} \approx$ 1.414， $\sqrt{3} \approx$ =1.732).

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17. 一数学兴趣小组去测量一棵周围有围栏保护的古树的高，在G处放置一个小平面镜，当一位同学站在F点时，恰好在小平面镜内看到这棵古树的顶端A的像，此时测得FG＝3m，这位同学向古树方向前进了9m后到达点D ，在D处安置一高度为1m的测角仪CD ，此时测得树顶A的仰角为30°，已知这位同学的眼睛与地面的距离EF＝1.5m，点B ， D ， G ， F在同一水平直线上，且AB ， CD ， EF均垂直于BF ，求这棵古树AB的高．（小平面镜的大小和厚度忽略不计，结果保留根号）

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18. 一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为 $△ A B C$ ，点 $B 、 C 、 D$ 在同一条直线上，测得 $∠ A C B = 90 ° ， ∠ A B C = 60 ° ， A B = 32 cm$ ， $∠ B D E = 75 °$ ，其中一段支撑杆 $C D = 84 cm$ ，另一段支撑杆 $D E = 70 cm$ ，求支撑杆上的点 $E$ 到水平地面的距离 $E F$ 是多少?（用四舍五入法对结果取整数，参考数据 $\sin 15 ° \approx 0.26 ， \cos 15 ° \approx 0.97 ， \tan 15 ° \approx 0.27 ， \sqrt{3} \approx 1.732$ ）

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19. 如图，一架无人机在空中A处观测到山顶B的仰角为 $36.87 °$ ，山顶B在水中的倒影C的俯角为 $63.44 °$ ，此时无人机距水面的距离 $A D = 50$ 米，求点B到水面距离 $B M$ 的高度．
（参考数据： $\sin 36.87 ° \approx 0.60$ ， $\cos 36.87 ° \approx 0.80$ ， $\tan 36.87 ° \approx 0.75$ ， $\sin 63.44 ° \approx 0.89$ ， $\cos 63.44 ° \approx 0.45$ ， $\tan 63.44 ° \approx 2.00$ ）

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20. 今年是建党100周年，学校新装了国旗旗杆（如图所示），星期一该校全体学生在国旗前举行了升旗仪式.仪式结束后，站在国旗正前方的小明在A处测得国旗D处的仰角为 $45 °$ ，站在同一队列B处的小刚测得国旗C处的仰角为 $23 °$ ，已知小明目高 $A E = 1.4$ 米，距旗杆 $C G$ 的距离为15.8米，小刚目高 $B F = 1.8$ 米，距小明24.2米，求国旗的宽度 $C D$ 是多少米？（最后结果保留一位小数）（参考数据： $\sin 23 ° \approx 0.3907 ， \cos 23 ° \approx 0.9205 ， \tan 23 ° \approx 0.4245$ ）

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21. 政府将要在某学校大楼前修一座大桥.如图，宋老师测得大楼的高是20米，大楼的底部D处与将要修的大桥BC位于同一水平线上，宋老师又上到楼顶A处测得B和C的俯角 $∠ E A B$ ， $∠ E A C$ 分别为 $67 °$ 和 $22 °$ ，宋老师说现在我能算出将要修的大桥BC的长了.同学们：你知道宋老师是怎么算的吗？请写出计算过程（结果精确到0.1米）.其中 $\sin 67 ° \approx \frac{12}{13}$ ， $\cos 67 ° \approx \frac{5}{13}$ ， $\tan 67 ° \approx \frac{12}{5}$ ， $\sin 22 ° \approx \frac{3}{8}$ ， $\cos 22 ° = \frac{15}{16}$ ， $\tan 22 ° \approx \frac{2}{5}$

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22. 如图，为了测量河对岸两点A，B之间的距离，在河岸这边取点C，D.测得 $C D = 80 m$ ， $∠ A C D = 90 °$ ， $∠ B C D = 45 °$ ， $∠ A D C = 19 ° 1 7^{'}$ ， $∠ B D C = 56 ° 1 9^{'}$ ，设A，B，C，D在同一平面内，求A，B两点之间的距离.（参考数据： $\tan 19 ° 1 7^{'} \approx 0.35 ， \tan 56 ° 1 9^{'} \approx 1.50$ .）

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四、综合题

23. 如图，斜坡

A B

的坡角

∠ B A C = 13 °

，计划在该坡面上安装两排平行的光伏板.前排光伏板的一端位于点

A

，过其另一端

D

安装支架

D E

，

D E

所在的直线垂直于水平线

A C

，垂足为点

F ， E

为

D F

与

A B

的交点.已知

A D = 100 cm

，前排光伏板的坡角

∠ D A C = 28 °

参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41 ， \sqrt{3} \approx 1.73 ， \sqrt{6} \approx 2.45$

三角函数锐角 $A$	13°	28°	32°
$\sin A$	0.22	0.47	0.53
$\cos A$	0.97	0.88	0.85
$\tan A$	0.23	0.53	0.62

(1)、求

A E

的长（结果取整数）；

(2)、冬至日正午，经过点

D

的太阳光线与

A C

所成的角

∠ D G A = 32 °

.后排光伏板的前端

H

在

A B

上.此时，若要后排光伏板的采光不受前排光伏板的影响，则

E H

的最小值为多少（结果取整数）？

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24. 某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为 $10 (3 + \sqrt{3})$ 海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东 $60 °$ 的方向上，当海监船行驶 $20 \sqrt{2}$ 海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东 $45 °$ 方向上.

(1)、求A，P之间的距离AP；

(2)、若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由.如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？

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25. 随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场 $B ， C$ 两点之间的距离.如图所示，小星站在广场的 $B$ 处遥控无人机，无人机在 $A$ 处距离地面的飞行高度是 $41 .6m$ ，此时从无人机测得广场 $C$ 处的俯角为 $63 °$ ，他抬头仰视无人机时，仰角为 $α$ ，若小星的身高 $B E = 1.6 m ， E A = 50 m$ （点 $A ， E ， B ， C$ 在同一平面内）.
$(\sin 63 ° \approx 0.89 ， \cos 63 ° \approx 0.45 ， \tan 63 ° \approx 1.96 ， \sin 27 ° \approx 0.45 ， \cos 27 ° \approx 0.89 ， \tan 27 ° \approx 0.51)$

(1)、求仰角 $α$ 的正弦值；

(2)、求 $B ， C$ 两点之间的距离（结果精确到 $1m$ ）.

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26. 资阳市为实现5G网络全覆盖，2020﹣2025年拟建设5G基站七千个.如图，在坡度为i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°.（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°≈ $\frac{4}{5}$ ，cos53°≈ $\frac{3}{5}$ ，tan53°≈ $\frac{4}{3}$ ）

(1)、求D处的竖直高度；

(2)、求基站塔AB的高.

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27. 某种落地灯如图1所示， $A B$ 为立杆，其高为 $84 cm$ ； $B C$ 为支杆，它可绕点 $B$ 旋转，其中 $B C$ 长为 $54 cm$ ； $D E$ 为悬杆，滑动悬杆可调节 $C D$ 的长度.支杆 $B C$ 与悬杆 $D E$ 之间的夹角 $∠ B C D$ 为 $60 °$ .

(1)、如图2，当支杆 $B C$ 与地面垂直，且 $C D$ 的长为 $50 cm$ 时，求灯泡悬挂点 $D$ 距离地面的高度；

(2)、在图2所示的状态下，将支杆 $B C$ 绕点 $B$ 顺时针旋转 $20 °$ ，同时调节 $C D$ 的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点 $D$ 到地面的距离为 $90 cm$ ，求 $C D$ 的长.（结果精确到 $1 cm$ ，参考数据： $\sin 20 ° \approx 0.34$ ， $\cos 20 ° \approx 0.94$ ， $\tan 20 ° \approx 0.36$ ， $\sin 40 ° \approx 0.64$ ， $\cos 40 ° \approx 0.77$ ， $\tan 40 ° \approx 0.84$ ）

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28. 学校运动场的四角各有一盏探照灯，其中一盏探照灯B的位置如图所示，已知坡长AC＝12m，坡角α为30°，灯光受灯罩的影响，最远端的光线与地面的夹角β为27°，最近端的光线恰好与地面交于坡面的底端C处，且与地面的夹角为60°，A、B、C、D在同一平面上.（结果精确到0.1m.参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.50， $\sqrt{3} \approx$ 1.73.）

(1)、求灯杆AB的高度；

(2)、求CD的长度.

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29. 如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为 $75 °$ ，测得小区楼房 $B C$ 顶端点C处的俯角为 $45 °$ .已知操控者A和小区楼房 $B C$ 之间的距离为45米，小区楼房 $B C$ 的高度为 $15 \sqrt{3}$ 米.

(1)、求此时无人机的高度；

(2)、在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于 $A B$ 的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行.问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内.参考数据： $\tan 75 ° = 2 + \sqrt{3}$ ， $\tan 15 ° = 2 - \sqrt{3}$ .计算结果保留根号）

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30. 在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐.一市民骑自行车由A地出发，途经B地去往C地，如图.当他由A地出发时，发现他的北偏东 $45 °$ 方向有一信号发射塔P.他由A地沿正东方向骑行 $4 \sqrt{2}$ km到达B地，此时发现信号塔P在他的北偏东 $15 °$ 方向，然后他由B地沿北偏东 $75 °$ 方向骑行12km到达C地.

(1)、求A地与信号发射塔P之间的距离；

(2)、求C地与信号发射塔P之间的距离.（计算结果保留根号）

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