浙江省宁波市海曙区2021--2022学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2022-01-27 类型：期末考试

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一、选择题（每小题4分，共 40 分)

1. 台球盒中有7个红球与1个黑球，从中随机摸出一个台球，则下列描述符合的是（）

A、一定摸到黑球 B、不可能摸到黑球 C、很可能摸到黑球 D、不大可能摸到黑球

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2. 已知抛物线 $y = 2 {(x - 3)}^{2} - 5$ ，其对称轴是（）

A、直线 $x = - 3$ B、直线 $x = 3$ C、直线 $x = - 5$ D、直线 $x = 5$

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3. 如图 $△ A B C$ 中， $E 、 F$ 分别在边 $A B 、 A C$ 上， $E F / / B C ， A B = 3 ， A E = 2 ， E F = 4$ ，则 $B C =$ （）

A、6 B、12 C、18 D、24

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4. 如图是一段索道的示意图. 若 $A B = 1000$ 米， $∠ B A C = a$ ，则洗车从 $A$ 点到 $B$ 点上升的高度 $B C$ 的长为（）

A、 $1000 sin a$ 米 B、 $\frac{1000}{sin α}$ 米 C、 $1000 cos α$ 米 D、 $\frac{1000}{cos α}$ 米

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5. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C D$ 是弦， $∠ C A B = 50^{\circ}$ ，则 $∠ D$ 的度数是（）

A、 $50^{\circ}$ B、 $45^{\circ}$ C、 $40^{\circ}$ D、 $35^{\circ}$

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6. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 75^{\circ}$ ，以点 $A$ 为旋转中心，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转得到 $△ A D E$ ，点 $B 、 C$ 的对应点分别为 $D 、 E$ ，连接 $C E$ ，若 $C E / / A B$ ，则 $∠ C A E$ 的值是（）

A、 $25^{\circ}$ B、 $30^{\circ}$ C、 $35^{\circ}$ D、 $45^{\circ}$

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7. 如图， $A 、 B$ 在圆形方格网横线上，点 $C 、 D$ 是直径 $A B$ 与网格横线的交点，则 $B C ： C D ： D A$ 为（）

A、 $3 ： 4 ： 5$ B、 $1 ： 3 ： 2$ C、 $1 ： 4 ： 2$ D、 $3 ： 6 ： 5$

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8. 若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）

A、当 $1 < x < 3$ 时， $y > 0$ B、当 $x = 2$ 时， $y$ 有最大值 C、图像经过点 $(4 ， - 3)$ D、当 $y < - 3$ 时， $x < 0$

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9. 如图，将5个全等的等腰三角形拼成内外两个大小不同的正五边形图案，设小正五边形边长为1，则大正五边形边长为（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ C、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{3 + \sqrt{5}}{2}$

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10. 如图，四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B C ， A D / / B C$ ，以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 刚好与 $C D$ 相切，连结 $O C 、 B D$ 交于点 $F$ ，若 $A B = 8$ ，则已知下列条件中的一个即可求 $B F$ 的长的有（）

(1) $B D$ ；(2) $C D$ ； (3) $\frac{O F}{C F}$ ； (4) $\frac{B F}{D F}$ .

A、（1）、（2）、（3）、（4） B、（1）、（2）、（3） C、（1）、（2）、（4） D、（1）、（3）、（4）

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二、填空题 (每小题5分, 共30分)

11. 若 $\frac{a}{4} = \frac{b}{3}$ ，则 $\frac{a - b}{a + b} =$ .

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12. 小明随意抛掷一枚点数从 $1 - 6$ ，质地均匀的正方体骰子，前面8次中有5次3点朝上. 则执第9次时， 3点朝上的概率为.

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13. 如图，将直径 $A B = 6$ 的半圆 $O$ ，绕端点 $A$ 逆时针旋转，当圆弧与直径交点 $H$ 满足 $B H ： A H = 1 ： 2$ 时， $tan ∠ B^{'} A B$ 的值为.

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14. 在芯片制作过程中，需要对 $A B = 2 cm ， A D = 3 cm$ 的矩形区域进行划区处理，划成如图所示的“ $M_{0} + N_{1}$ ” 的形式，其中 $M_{0}$ 为竖式矩形 $(\frac{A B}{A E} = \sqrt{2}) ， N_{1}$ 为横式矩形 $(\frac{E G}{E F} = \sqrt{2})$ ，则芯片被利用区域的长 $A G$ 的值为 cm .

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15. 如图，已知距离为6的两条平行线 $l_{1} ， l_{2}$ 与 $⊙ O$ 分别交于 $A ， B$ 两点 $(A B$ 为直径，且与 $l_{2}$ 不垂直)， D为 $⊙ O$ 上一点，过 $D$ 作 $l_{1}$ 的平行线 $m$ 交 $A B$ 于点 $C$ ，若 $\frac{A C}{B C} = \frac{2}{3} ， B D = 6$ ，则 $A B$ 的长为 .

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16. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2} + \frac{8}{3} x - 3$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 和点 $B$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C ， D$ 点为拋物线上第三象限内一动点，当 $∠ A C D + 2 ∠ A B C = 180^{\circ}$ 时，点 $D$ 的坐标为 .

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三、解答题（第17 题 6 分,18 题8分,第题每题10分, 第23题12分, 第24 题14 分, 共80分）

17. 计算： $6 {tan}^{2} 30^{\circ} - \sqrt{3} sin 60^{\circ} - 2 tan 45^{\circ}$

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18. 在一个不透明的口袋里装有分别标注 1、2 的两个小球 (小球除数字外，其余都相同)，另有背面完全一样、正面分别写有 3、4、5 的三张卡片，现从口袋中任意摸出一个小球，再从这三张背面朝上的卡片中任意摸出一张，则

(1)、共有多少种结果? （请用列表或者画树状图的方法表示说明）

(2)、小方和小圆选择下列两个规则中的一个做游戏：
①若两次摸出的数字，和为奇数，则小方赢，否则小圆赢；

②若两次摸出的数字，积为奇数，则小方赢，否则小圆赢。

小方想要在游戏中获胜机会更大些，他应选择哪一条规则，请说明理由.

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19. 如图，在 $6 \times 6$ 的正方形方格纸中， $∠ B A C$ 的顶点在格点上，

(1)、直接写出 $tan ∠ B A C =$ .

(2)、仅用直尺，画出 $∠ B A C$ 的平分线 $A P$ ，并写出 $tan ∠ P A C =$ .

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20. 定义：若抛物线 $y_{1} = a_{1} {(x + h)}^{2} + k_{1}$ 与地物线 $y_{2} = a_{2} {(x + h)}^{2} + k_{2}$ . 同吋满足 $a_{2} = - 4 a_{1}$ 且 $k_{2} = - \frac{1}{4} k_{1}$ ，则称这两条抛物线是一对 “共轭抛物线".

(1)、已知抛物线 $y_{1} = - \frac{1}{4} x^{2} + b x + c$ 与 $y_{2} = x^{2} - 2 x - 3$ 是一对共轭抛物线，求 $y_{1}$ 的解折式：

(2)、如图1，将一副边长为 $4 \sqrt{2}$ 的正方形七巧板拼成图2的形式，若以BC中点为原点，直线BC为x轴建立平面直角坐标系，设经过点 $A ， E ， D$ 的抛物线为 $y_{1}$ ，经过 $A 、 B 、 C$ 的抛物线为 $y_{2}$ ，请立接写出 $y_{1} 、 y_{2}$ 的解析式并判断它们是否为一对共轭拋物线.

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21. 如图，扇形圆心角 $∠ A O B = a$ ，半径 $O A = 6$ ，把扇形做成圆锥后，其底面半径为2 ，

(1)、求 $α$ ：

(2)、点 $C$ 是 $O A$ 上的一点，若 $O C = 4$ ，求 $s_{阴影}$ .

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22. 如图，已知AB是半圆O的直径，C是半圆弧上一点，P是BC的中点，PD//BC交AB延长线于点D.
求证：

(1)、 $P D$ 为 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 10 ， cos ∠ D = \frac{4}{5}$ ， $求 P C$ 的值.

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23. 如图，在平面直角坐标系中，过点 $A (0 ， 4) 、 B (5 ， 9)$ 两点的拋物线的顶点 $C$ 在 $x$ 轴正半轴上，

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求点 $C$ 的坐标；

(3)、 $P (x ， y)$ 为线段 $A B$ 上一点， $1 ⩽ x ⩽ 4$ ，作 $P M / / y$ 轴交抛物线于点 $M$ ，求PM的最大值与最小值.

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24. 如图

(1)、如图1，在正方形ABCD中，点E是AD边上一点，点P为BC边上一点，PE交AC于点F，已知 $∠ P E A = ∠ C E D$ ，设 $∠ D C E = α ， D E = m$ ，
请直接写出 ∠PEC= ， ∠EPC= ， PC= (用 $α$ 或m相关的代数式表示)

(2)、作 $F G ⊥ C E$ 分别交 $C E 、 C D$ 于 $H 、 G$ (如图2），求 $C G$ 的长；

(3)、连结 $D H$ ，若 $A B = 1$ ，求 $D H$ 的最小值；

(4)、在(3)的条件下，请直接写出 $D H$ 的最小值时， $S_{△ EFH}$ = ，

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浙江省宁波市海曙区2021--2022学年九年级上学期数学期末试卷

一、选择题（每小题4分，共 40 分)

二、填空题 (每小题5分, 共30分)

三、解答题（第17 题 6 分,18 题8分,第 题每题10分, 第23题12分, 第24 题14 分, 共80分）

三、解答题（第17 题 6 分,18 题8分,第题每题10分, 第23题12分, 第24 题14 分, 共80分）