上海市浦东新区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-01-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 某两地的距离为3000米，画在地图上的距离是15厘米，则地图上的距离与实际距离之比是（）

A、1∶200 B、1∶2000 C、1∶20000 D、1∶200000

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2. 将抛物线y＝﹣x²向右平移3个单位，再向下平移2个单位后所得新抛物线的顶点是（　　）

A、（3，﹣2） B、（﹣3，﹣2） C、（3，2） D、（﹣3，2）

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3. 已知 $| \vec{a} | = 3$ ， $| \vec{b} | = 2$ ，而且 $\vec{b}$ 和 $\vec{a}$ 的方向相反，那么下列结论中正确的是（）

A、 $3 \vec{a} = 2 \vec{b}$ B、 $2 \vec{a} = 3 \vec{b}$ C、 $3 \vec{a} = - 2 \vec{b}$ D、 $2 \vec{a} = - 3 \vec{b}$

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4. 已知点P是线段AB的黄金分割点，且 $A P > B P$ ，则下列比例式能成立的是（）

A、 $\frac{A B}{A P} = \frac{B P}{A B}$ B、 $\frac{B P}{A P} = \frac{A B}{B P}$ C、 $\frac{A P}{A B} = \frac{B P}{A P}$ D、 $\frac{A B}{A P} = \frac{B P}{P A}$

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5. 在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆项的仰角为 $α$ ，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为（）米

A、 $20 c o t α$ B、 $20 t a n α$ C、 $1.5 + 20 t a n α$ D、 $1.5 + 20 c o t α$

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6. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A C = 2$ ， $B C = 4$ ， $D$ 为 $B C$ 边上的一点，且 $∠ C A D = ∠ B$ ．若 $Δ A D C$ 的面积为 $a$ ，则 $Δ A B D$ 的面积为（）

A、 $2 a$ B、 $\frac{5}{2} a$ C、 $3 a$ D、 $\frac{7}{2} a$

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二、填空题

7. 计算： $3 (2 a - b) - 2 (2 a - 3 b) =$ ．

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8. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = \sqrt{2}$ ， $B C = \sqrt{6}$ ，则 $∠ B =$ ．

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9. 在一个边长为2的正方形中挖去一个小正方形，使小正方形四周剩下部分的宽度均为x，若剩下阴影部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是．

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10. 抛物线y＝ax²+ax+2（a≠0）的对称轴是直线．

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11. 如果在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（3，4），射线OP与X轴的正半轴所夹的角为α，那么α的余弦值等于．

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12. 如图所示，在平行四边形ABCD中，F为BC中点，延长AD至E，使DE：AD=1：3，连结EF交DC于点G，则S_△_DEG：S_△_CFG等于.

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13. 已知二次函数 $y = - x^{2} - 2 x + 3 - n$ （n为常数），若该函数图象与x轴只有一个公共点，则 $n =$ ．

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14. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG＝ $\frac{2}{3}$ ，则BC长为．

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15. 如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，设 $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ，那么向量 $\vec{A B}$ 关于 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 的分解式为．

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16. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P为射线BC上的一个动点，过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q ，当BP＝5时，CQ＝．

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17. 定义：直线与抛物线两个交点之间的距离称作抛物线关于直线的“割距”，如图，线段MN长就是抛物线关于直线的“割距”．已知直线 $y = - x + 3$ 与x轴交于点A，与y轴交于点B，点B恰好是抛物线 $y = - {(x - m)}^{2} + n$ 的顶点，则此时抛物线关于直线y的割距是．

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18. 如图，a//b//c，直线a与直线b之间的距离为 $\sqrt{3}$ ，直线c与直线b之间的距离为 $2 \sqrt{3}$ ，等边 $△ A B C$ 的三个顶点分别在直线a、直线b、直线c上，则等边三角形的边长是．

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三、解答题

19. 求值： $t a n^{2} 60 ° - \frac{c o s 45 °}{c o t 45 ° - s i n 45 °}$ （结果保留根号）．

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20. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE= $\frac{2}{3}$ BC．

(1)、如果AC=6，求AE的长；

(2)、设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，求向量 $\vec{D E}$ （用向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 表示）．

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21. 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度（或坡比） $i = 1 ： 2.4$ 的山坡AB上发现棵古树CD，测得古树底端C到山脚点A的距离 $A C = 26$ m，在距山脚点A处水平距离6m的点E处测得古树顶端D的仰角 $∠ A E D = 48 °$ （古树CD与山坡AB的剖面、点E在同一平面上，古树CD所在直线与直线AE垂直），则古树CD的高度约为多少米？（结果精确到整数）（数据 $s i n 48 ° \approx 0.74$ ， $c o s 48 ° \approx 0.67$ ， $t a n 48 ° \approx 1.11$ ）

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22. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，cosA＝ $\frac{3}{5}$ ． D是AB边的中点，过点D作直线CD的垂线，与边BC相交于点E．

(1)、求线段CE的长；

(2)、求sin∠BDE的值．

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23. 如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $∠ B A C = ∠ D A E = 90 °$ ， $∠ B = ∠ A D E = 30 °$ ， AC与DE相交于点F，联结CE，点D在边BC上．

(1)、求证： $△ A B D$ ∽ $△ A C E$ ；

(2)、若 $\frac{A D}{B D} = \sqrt{3}$ ，求 $\frac{D F}{C F}$ 的值．

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24. 已知，二次函数 $y = - x^{2} + b x + c$ 的图像与x轴交于点 $A (- 1 ， 0)$ ，点 $B (3 ， 0)$ ，与y轴交点C．

(1)、求二次函数解析式；

(2)、设点 $E (t ， 0)$ 为x轴上一点，且 $A E = C E$ ，求t的值；

(3)、若点P是直线BC上方抛物线上一动点，联结BC，过点P作 $P Q ⊥ B C$ ，交BC于点Q，求线段PQ的最大值及此时点P的坐标．

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25. 在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ，点O是边AC上的一个动点，过O作 $O D ⊥ A B$ ， D为垂足，在线段AC上取 $O E = O D$ ，联结ED，作 $E P ⊥ E D$ ，交射线AB于点P，交射线CB于点F．

(1)、如图1所示，求证： $△ A D E$ ∽ $△ A E P$ ；

(2)、设 $O A = x$ ， $A P = y$ ，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；

(3)、当 $B F = 1$ 时，求线段AP的长．

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