上海市金山区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-01-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，那么下列等式中成立的是（）

A、 $2 a = 3 b$ B、 $\frac{a + 1}{b + 1} = \frac{3}{4}$ C、 $\frac{a + b}{b} = \frac{5}{3}$ D、 $\frac{a - b}{b} = \frac{1}{3}$ ．

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2. 在比例尺是 $1 ： 200000$ 的地图上，两地的距离是 $6 c m$ ，那么这两地的实际距离为（）

A、 $1.2 k m$ B、 $12 k m$ C、 $120 k m$ D、 $1200 k m$ ．

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3. 如果点 $P$ 是线段AB的黄金分割点，且 $A P < B P$ ，那么 $\frac{A P}{B P}$ 的值等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2} + 1$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$

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4. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = a$ ， $A B = c$ ，那么 $\frac{a}{c}$ 的值等于（）

A、 $s i n A$ B、 $c o s A$ C、 $t a n A$ D、 $c o t A$

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5. 如图，M是平行四边形ABCD的对角线BD上一点，AM的延长线交BC于点 $E$ ，交DC的延长线于点F，图中相似三角形有（）

A、6对 B、5对 C、4对 D、3对

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6. 点G是 $△ A B C$ 的重心，设 $\vec{A B} = a$ ， $\vec{A C} = b$ ，那么 $\vec{A G}$ 关于 $a$ 和 $b$ 的分解式是（）

A、 $\frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b$ B、 $\frac{1}{2} a - \frac{1}{2} b$ C、 $\frac{1}{3} a + \frac{1}{3} b$ D、 $\frac{1}{3} a - \frac{1}{3} b$ ．

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二、填空题

7. 计算： $\frac{1}{2} (\vec{a} - 2 \vec{b}) + 2 \vec{b} =$ ．

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8. 如果两个相似三角形的面积比为1：4，其中较大三角形的周长为18，那么较小三角形的周长是．

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9. 抛物线 $y = a x^{2}$ 经过点 $(1 ， - 2)$ ，那么这个抛物线的开口向．

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10. 抛物线y=x²+2x的对称轴是．

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11. 抛物线 $y = 3 - x^{2}$ 位于y轴左侧的部分是的．（填“上升”或“下降”）

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12. 在直角坐标平面内有一点 $A (1 ， 2)$ ，点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为 $α$ ，那么 $c o t α$ 的值为．

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13. 如图，某传送带与地面所成斜坡的坡度为 $i = 1 ： 2.4$ ，它把物品从地面A送到离地面5米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为．

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14. 如图，E是 $▱ A B C D$ 的边BA延长线上一点，CE与AD相交于点F， $A E = 1$ ， $A B = 2$ ， $B C = 3$ ，那么 $A F =$ ．

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15. 如图， $A D ∥ E F ∥ B C$ ， $A E = 2 B E$ ， $A D = 2$ ， $E F = 4$ ，那么 $B C =$ ．

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16. 如图，AD是 $△ A B C$ 的中线，E是AD的中点，BE的延长线交AC于点F，那么 $\frac{A F}{C F} =$ ．

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17. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 9 0^{°}$ ，矩形DEFG的边DE在边AB上，顶点F、G分别在边BC、AC上，如果 $△ B E F$ 、 $△ A D G$ 、 $△ C F G$ 的面积分别是1、2、3，那么矩形DEFG的面积等于．

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18. 在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ， $s i n B = \frac{4}{5}$ ， $E$ 是BC上一点，把 $△ A B E$ 沿直线AE翻折后，点B落在点P处，如果 $P E ∥ A C$ ，那么 $B E =$ ．

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三、解答题

19. 计算： $\frac{s i n 45 ° - t a n 45 °}{c o s^{2} 60 °} + 2 c o t 30 ° \cdot s i n 60 °$ ．

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20. 如图，已知：四边形ABCD中，点M、N分别在边BC、CD上， $\frac{C M}{M B} = \frac{C N}{N D} = 2$ ，设 $\vec{A B} = a$ ， $A D = b$ ．
求向量 $\vec{M N}$ 关于 $a$ 、 $b$ 的分解式．

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21. 如图， $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， D是 $A B$ 的中点， $E D ⊥ A B$ 交AC于点E， $t a n ∠ E B C = \frac{3}{4}$ ．求 $∠ A B E$ 的正切值．

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22. 如图，某校无人机兴趣小组利用无人机测量旗杆的高度，无人机在位于 $C$ 点时距离地面MN的高度CH为30米，测得旗杆顶部A点的俯角为 $30 °$ ，测得旗杆底部B点的俯角为 $45 °$ ，求旗杆的高度。

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23. 已知：如图，梯形ABCD中， $A D ∥ B C$ ， $A B = D C = 6$ ， E是对角线BD上一点， $D E = 4$ ， $∠ B C E = ∠ A B D$ ．

(1)、求证： $△ A B D ∽ △ E C B$ ；

(2)、如果 $A D ： B C = 3 ： 5$ ，求AD的长．

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24. 已知：抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (0 ， 1)$ 和 $B (1 ， 4)$ ，顶点为点P，抛物线的对称轴与x轴相交于点Q．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求 $∠ P A Q$ 的度数；

(3)、把抛物线向上或者向下平移，点B平移到点C的位置，如果 $B Q = C P$ ，求平移后的抛物线解析式．

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25. 已知：如图， $A D ⊥$ 直线MN，垂足为D， $A D = 8$ ，点B是射线DM上的一个动点， $∠ B A C = 90 °$ ，边AC交射线DN于点C， $∠ A B C$ 的平分线分别与AD、AC相交于点E、F．

(1)、求证： $△ A B E ∽ △ C B F$ ；

(2)、如果 $A E = x$ ， $F C = y$ ，求y关于x的函数关系式；

(3)、联结DF，如果以点D、E、F为顶点的三角形与 $△ B C F$ 相似，求AE的长．

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