山西省大同市2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-01-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列事件中，属于必然事件的是（）

A、任意购买一张电影票，座位号是奇数 B、抛一枚硬币，正面朝上 C、五个人分成四组，这四组中有一组必有2人 D、打开电视，正在播放动画片

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3. 抛物线 $y = x^{2} + 4 x - 8$ 的对称轴为直线（）

A、 $x = - 2$ B、 $x = 2$ C、 $x = 4$ D、 $x = - 4$

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4. 一元二次方程 $2 x^{2} + 4 x + 3 = 0$ 的根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、只有一个实数根 D、无实数根

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5. 古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线利用数学原理，来测量金字塔的高度．如图，在某一时刻，测得木杆EF的长为2m，它的影长FD为3m，同时测得OA为201 m，求金字塔的高度BO．在解决这个问题的过程中，主要运用的数学知识是（）

A、图形的轴对称 B、图形的平移 C、图形的旋转 D、图形的相似

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6. 如图，已知太原南站某自动扶梯AB的倾斜角为31°，自动扶梯AB的长为15 m，则大厅两层之间的高度BC为（）

A、 $\frac{15}{s i n 31 °} m$ B、 $15 s i n 31 ° m$ C、 $15 c o s 31 ° m$ D、 $15 t a n 31 ° m$

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7. 已知点 $A (3 ， - 4)$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上，则下列说法正确的是（）

A、图象位于第一、三象限 B、点（2，6）在该函数图象上 C、当 $x < 0$ 时，y随x的增大而增大 D、当 $y \geq - 4$ 时， $x \geq 3$

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8.
如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为（）

A、15 B、10 C、 $\frac{15}{2}$ D、5

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9. 如图，AB是 $⊙ O$ 的直径， $⊙ O$ 的弦DC的延长线与AB的延长线相交于点P， $O D ⊥ A C$ 于点E， $∠ C A B = 15 °$ ， $O A = 2$ ，则阴影部分的面积为（）

A、 $\frac{5 π}{3}$ B、 $\frac{5 π}{6}$ C、 $\frac{5 π}{12}$ D、 $\frac{5 π}{24}$

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $a b c < 0$ B、 $a - b + c < 0$ C、 $4 a - 2 b + c > 0$ D、 $b > 2 a$

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二、填空题

11. 在 $△ A B C$ 中， $∠ B = 75 °$ ， $t a n A = \sqrt{3}$ ，则 $∠ C$ 的度数是．

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12. 如图，某小区车库出入口的栏杆短臂 $O A$ 长1m，长臂 $O B$ 长8m，当短臂外端 $A$ 下降0.5m时，长臂外端 $B$ 升高.

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13. 合作小组的4位同学在课桌旁讨论问题，学生A的座位如图所示，学生B，C，D随机坐到其他三个座位上，则B坐在2号座位的概率是．

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14. 如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是．

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15. 如图，点O是 $R t △ A B C$ 的AB边上一点， $∠ A C B = 90 °$ ，以OB长为半径作 $⊙ O$ ，与AC相切于点D．若 $B C = 4$ ， $s i n A = \frac{4}{5}$ ，则 $⊙ O$ 的半径长为．

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三、解答题

16.

(1)、计算： $2 s i n 30 ° + c o s^{2} 45 ° - {(- 2)}^{- 1} - | - c o s 60 ° |$ ；

(2)、解方程： $3 {(x - 1)}^{2} = 2 x - 2$ ．

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17. 如图，一次函数 $y = k x + b$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象相交于A（1，3），B（3，n）两点，与两坐标轴分别相交于点P，Q，过点B作 $B C ⊥ O P$ 于点C，连接OA．

(1)、求一次函数和反比例函数的解析式；

(2)、求四边形ABCO的面积．

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18. 如图1是一间安装有壁挂式空调的卧室的一部分，如图2是该空调挂机的侧面示意图．已知空调挂机底部BC垂直于墙面CD，且当导风板所在的直线AE与竖直直线AB的夹角α为42°时，空调风刚好吹到床的外边沿E处， $C D ⊥ E D$ 于点D， $A B ⊥ E D$ 于点F．若 $A B = 0.02 m$ ， $B C = 0.2 m$ ，床铺 $E D = 2.4 m$ ，求空调机的底部位置距离床的高度CD．（结果精确到0.1m，参考数据： $s i n 42 ° \approx 0.67$ ， $c o s 42 ° \approx 0.74$ ， $t a n 42 ° \approx 0.90$ ）

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19. 小军准备进行如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形，设其中一个正方形的边长为x cm，这两个正方形的面积之和为 $y c m^{2}$ ．请解答下列问题：

(1)、另一个正方形的边长为cm（用含x的代数式表示）；

(2)、要使这两个正方形的面积之和等于 $68 c m^{2}$ ，小军应怎么剪？

(3)、小华对小军说：“这两个正方形的面积之和的最小值为 $50 c m^{2}$ ． ”他的说法符合题意吗？请说明理由．

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20. 太原是国家历史文化名城，有很多旅游的好去处，周末哥哥计划带弟弟出去玩，放假前他收集了太原动物园、晋祠公园、森林公园、汾河湿地公园四个景点的旅游宣传卡片，这些卡片的大小、形状及背面完全相同，分别用D，J，S，F表示，如图所示，请用列表或画树状图的方法，求下列事件发生的概率．

(1)、把这四张卡片背面朝上洗匀后，弟弟从中随机抽取一张，作好记录后，将卡片放回洗匀，哥哥再抽取一张，求两人抽到同一景点的概率；

(2)、把这四张卡片背面朝上洗匀后，弟弟和哥哥从中各随机抽取一张（不放回），求两人抽到动物园和森林公园的概率．

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21. 请阅读下面材料，并完成相应的任务；
阿基米德折弦定理
阿基米德（Arehimedes，公元前287—公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．
阿拉伯Al-Biruni（973年—1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．
阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是 $⊙ O$ 的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦）， $B C > A B$ ， M是 $\overset{⌢}{A B C}$ 的中点，则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即 $C D = A B + B D$ ．
这个定理有很多证明方法，下面是运用“垂线法”证明 $C D = A B + B D$ 的部分证明过程．
证明：如图2，过点M作 $M H ⊥$ 射线AB，垂足为点H，连接MA，MB，MC．
∵M是 $\overset{⌢}{A B C}$ 的中点，
∴ $M A = M C$ ．
…
任务：

(1)、请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

(2)、如图3，已知等边三角形ABC内接于 $⊙ O$ ， D为 $\overset{⌢}{A C}$ 上一点， $∠ A B D = 15 °$ ， $C E ⊥ B D$ 于点E， $C E = 2$ ，连接AD，则 $△ D A B$ 的周长是．

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22. 综合与实践
问题情境：
数学活动课上，同学们将 $R t △ A B C (∠ C = 90 °)$ 绕点A顺时针旋转得到 $R t △ A B C$ ，点 $C$ 落在边AB上，连接 $B B$ ，过点 $B$ 作 $B D ⊥ A C$ 于点D．
特例分析：

(1)、如图1，若点D与点A重合，请判断线段AC与BC之间的数量关系，并说明理由；
探索发现：

(2)、如图2，若点D在线段CA的延长线上．且 $∠ B A D = ∠ A B B$ ，请判断线段AD与 $B C$ 之间的数最关系，并说明理由．

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23. 综合与探究
如图，已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x - 8$ 与x轴相交于点A，B（点B在点A的右侧），与y轴相交于点C，其顶点为点D，连接AC，BC．

(1)、求点A，B，D的坐标；

(2)、设抛物线的对称轴DE交线段BC于点E，P为第四象限内抛物线上一点，过点P作x轴的垂线，交线段BC于点F．若四边形DEFP为平行四边形，求点P的坐标；

(3)、设点M是线段BC上的一个动点，过点M作 $M N ∥ A B$ ，交AC于点N．点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BA向点A运动，运动时间为t（ $t < 6$ ）秒，直接写出当t为何值时， $△ Q M N$ 为等腰直角三角形．

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