黑龙江省齐齐哈尔市龙沙区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-01-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. $c o s 60 °$ 的倒数是（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、2 D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$

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2. 下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列事件中，属于不可能事件的是（）

A、掷一校骰子，朝上一面的点数为5 B、任意画一个三角形，它的内角和是178° C、某个数的相反数等于它本身 D、在纸上画两条直线，这两条直线互相垂直

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4. 若m是方程 $x^{2} - x - 1 = 0$ 的一个根，则 $m^{2} - m + 2020$ 的值为（）

A、2019 B、2020 C、2021 D、2022

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5. 如图，正六边形 $A B C D E F$ 内接于圆O，半径为4，则这个正六边形的边心距 $O M$ 为（）

A、2 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $1$

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6. 如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点M为 $C D$ 的中点， $A M$ 与 $B D$ 相交于点N，若已知 $S_{△ D M N} = 3$ ，那么 $S_{△ A D N}$ 等于（）

A、6 B、9 C、12 D、3

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7. 若抛物线 $y = - x^{2} - 6 x + m$ 与x轴没有交点，则m的取值范围是（）

A、 $m \geq 9$ B、 $m \leq 9$ C、 $m > - 9$ D、 $m < - 9$

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8. 在同一平面直角坐标系中，函数 $y = m x + n$ 与 $y = \frac{m n}{x} (m n \neq 0)$ 的图象可能是（）．

A、 B、 C、 D、

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9. 如图，将等边三角形OAB放在平面直角坐标系中，A点坐标（1，0），将△OAB绕点O逆时针旋转60°，则旋转后点B的对应点B＇的坐标为（）

A、（ $- \frac{1}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ） B、（－1， $\frac{1}{2}$ ） C、（－ $\frac{3}{2}$ ， $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ） D、（－ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ）

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10. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，有下列5个结论：① $a b c < 0$ ；② $b < a + c$ ；③ $2 a + b = 0$ ；④ $4 a c - b^{2} < 0$ ；⑤ $a + b < m (a m + b) (m \neq 1)$ ，其中正确的结论有（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

11. 某商场一月份利润为100万元，三月份的利润为121万元，则该商场二、三月利润的平均增长率为x，则可列出方程为．

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12. 如图，在 $△ A B C$ 中，D是线段 $A B$ 上的一点（不与点A，B重合），连接 $C D$ ．请添加一个条件使 $△ A B C$ 与 $△ D B C$ 相似，这个条件可以是（写出一个即可）．

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13. 已知一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为120°，面积为12 $π c m^{2}$ 的扇形，则这个圆锥的高是cm．

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14. 若关于x的一元二次方程 $k x^{2} - 3 x - \frac{9}{4} = 0$ 有实数根，则实数k的取值范围是．

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15. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过 $▱ A B C D$ 对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上， $B D ⊥ D C$ ， $▱ A B C D$ 的面积为8，则 $k =$ ．

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 3$ ， $B C = 4$ ，点E，F分别在边 $B C$ ， $A C$ 上，沿 $E F$ 所在的直线折叠 $∠ C$ ，使点C的对应点D恰好落在边 $A B$ 上．若 $△ E F C$ 和 $△ A B C$ 相似，则 $A D$ 的长为．

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17. 二次函数 $y = x^{2}$ 的图象如图所示，点 $A_{0}$ 位于坐标原点，点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， …， $A_{2020}$ 在y轴的正半轴上，点 $B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $B_{3}$ ， …， $B_{2020}$ 在二次函数 $y = x^{2}$ 位于第一象限的图象上， $△ A_{0} B_{1} A_{1}$ ， $△ A_{1} B_{2} A_{2}$ ， …， $△ A_{2019} B_{2020} A_{2020}$ 都是直角顶点在抛物线上的等腰直角三角形，则 $△ A_{2020} B_{2021} A_{2021}$ 的斜边长为．

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三、解答题

18. 计算： ${(- 2020)}^{0} + {(s i n 60 °)}^{- 1} - | t a n 30 ° - \sqrt{3} | + \sqrt[3]{8}$

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19. 解方程：

(1)、 $3 x^{2} - 4 x - 2 = 0$

(2)、 $5 x (x - 2) = 2 (x - 2)$

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20. 为了解某地七年级学生身高情况，随机抽取部分学生，测得他们的身高（单位：cm），并绘制了如下两幅不完整的统计图，请结合图中提供的信息，解答下列问题．

(1)、填空：样本容量为， a＝；

(2)、把频数分布直方图补充完整；

(3)、若从该地随机抽取1名学生，估计这名学生身高低于160cm的概率．

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21. 如图，以点 $O$ 为圆心， $A B$ 长为直径作圆，在 $⊙ O$ 上取一点 $C$ ，延长 $A B$ 至点 $D$ ，连接 $D C$ ， $∠ D C B = ∠ D A C$ ，过点 $A$ 作 $A E ⊥ A D$ 交 $D C$ 的延长线于点 $E$ ．

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $C D = 4$ ， $D B = 2$ ，求 $A E$ 的长．

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22. 如图一次函数 $y_{1} = k_{1} x + 3$ 的图象与坐标轴相交于点 $A (- 2 ， 0)$ 和点B，与反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (x > 0)$ 的图象相交于点 $C (2 ， m)$ ．

(1)、求出一次函数与反比例函数的解析式；

(2)、若点P是反比例函数图象上的一点，连接 $C P$ 并延长，交x轴正半轴于点D，若 $P D ： C P = 1 ： 2$ 时，求 $△ C O P$ 的面积；

(3)、在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使 $P Q + C Q$ 的值最小，若存在请直接写出 $P Q + C Q$ 的最小值，若不存在请说明理由．

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23. 等腰直角三角形 $A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A E$ 为 $∠ B A C$ 的角平分线，交 $B C$ 于点E，点D为 $A B$ 的中点，连结 $C D$ 交 $A E$ 于点G，过点C作 $C F ⊥ A E$ ，垂足为点F，交 $A B$ 于点H．

(1)、如图1， $A G$ 与 $C H$ 的数量关系为； $\frac{C F}{A G}$ 的值为；

(2)、如图2，以点C为位似中心，将 $△ C A E$ 做位似交换，得到 $△ C A E$ ，使 $△ C A E$ 与 $△ C A E$ 的相似比为 $k (0 < k < 1)$ ， $A E$ 与 $C D$ 、 $C H$ 的交点分别为 $G$ ， $F$ ，隐去线段 $A E$ ，试求 $\frac{C F'}{A' G'}$ 的值；

(3)、如图3，将（2）中的等腰直角三角形改为等腰三角形， $∠ B = 30 °$ ，且其他条件不变，
① $\frac{C F}{A G}$ 的值为；
②若 $C F' = \sqrt{3}$ ，直接写出 $△ A G C$ 的面积．

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24. 如图，抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与x轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与y轴交于点 $C (0 ， 3)$ ，抛物线的顶点为D，连接 $B C$ ， P为线段 $B C$ 上的一个动点（P不与B、C重合），过点P作 $P F ∥ y$ 轴，交抛物线于点F，交x轴于点G．

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、当 $P G = 2 P F$ 时，求点P的坐标；

(3)、连接 $C D$ 、 $B D$ 、 $C F$ 、 $B F$ ，当 $△ C B F$ 的面积等于 $△ C B D$ 的面积时（点F与点D不重合），求点P的坐标；

(4)、在（3）的条件下，在y轴上，是否存在点Q，使 $△ C P Q$ 为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

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