北京市燕山区2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试题

试卷更新日期：2022-01-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 在等式① $x^{2} + x = 1$ ；② $3 + 2 = 5$ ；③ $\frac{1}{x} + 1 = 0$ ；⑤ $x + y = 1$ ；⑤ $x + 3 = 2 x$ 中，符合一元二次方程概念的是（）

A、①⑤ B、① C、④ D、①④

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3. 经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，甲、乙两辆汽车经过这个十字路口时，一辆车向左转，一辆车向右转的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{4}{9}$

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4. 利用定理“同弧所对圆心角是圆周角的两倍”，可以直接推导出的命题是（）

A、直径所对圆周角为 $90 °$ B、如果点A在圆上，那么点A到圆心的距离等于半径 C、直径是最长的弦 D、垂直于弦的直径平分这条弦

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5. 计算半径为1，圆心角为 $60 °$ 的扇形面积为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $π$

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6. 在求解方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 时，先在平面直角坐标系中画出函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象，观察图象与x轴的两个交点，这两个交点的横坐标可以看作是方程的近似解，分析右图中的信息，方程的近似解是（）

A、 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = 2$ B、 $x_{1} = - 3$ ， $x_{2} = 3$ C、 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 2$ D、 $x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 3$

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7. 南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为x步，根据题意可以列方程为（）

A、 $x^{2} - 60 x - 864 = 0$ B、 $x (x + 60) = 864$ C、 $x^{2} - 60 x + 864 = 0$ D、 $x (x + 30) = 864$

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8. 在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B C = 4 c m$ ， $A C = 3 c m$ ．把 $△ A B C$ 绕点A顺时针旋转 $90 °$ 后，得到 $△ A B_{1} C_{1}$ ，如图所示，则点B所走过的路径长为（）

A、 $5 \sqrt{2} π c m$ B、 $5 π c m$ C、 $\frac{5}{4} π c m$ D、 $\frac{5}{2} π c m$

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二、填空题

9. 抛物线 $y = 2 (x - 1)^{2} + 5$ 的顶点坐标是，图象的开口方向是．

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10. 已知点A、B、C、D在圆O上，且 $F D$ 切圆O于点D， $O E ⊥ C D$ 于点E，对于下列说法：①圆上 $\overset{⌢}{A b B}$ 是优弧；②圆上 $\overset{⌢}{A b D}$ 是优弧；③线段 $A C$ 是弦；④ $∠ C A D$ 和 $∠ A D F$ 都是圆周角；⑤ $∠ C O A$ 是圆心角，其中正确的说法是．

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11. 在下图中， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，要使得直线 $A T$ 是 $⊙ O$ 的切线，需要添加的一个条件是．（写一个条件即可）

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12. 下面给出了用三角尺画一个圆的切线的步骤示意图，但顺序需要进行调整，正确的画图步骤是．
① ② ③ ④

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13. 下面是用配方法解关于x的一元二次方程 $3 x^{2} + x - 2 = 0$ 的具体过程，
$3 x^{2} + 2 x - 1 = 0$
解：第一步： $x^{2} + \frac{2}{3} x - \frac{1}{3} = 0$
第二步： $x^{2} + \frac{2}{3} x = \frac{1}{3}$
第三步： $x^{2} + \frac{2}{3} x + {(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}$
第四步： ${(x + \frac{1}{3})}^{2} = \frac{4}{9}$ $∴ x + \frac{1}{3} = \pm \frac{2}{3}$ $∴ x_{1} = \frac{1}{3}$ ， $x_{2} = - 1$
以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是．

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14. 时隔十三年，奥运圣火再次在北京点燃．北京将首次举办冬奥会，成为国际上唯一举办过夏季和冬季奥运会的“双奥之城”．墩墩和融融积极参加雪上项目的训练，现有三辆车按照1，2，3编号，两人可以任选坐一辆车去训练，则两人同坐2号车的概率是．

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15. 在平面直角坐标系中，已知点 $A (2 a - b ， - 8)$ 与点 $B (- 2 ， a + 3 b)$ 关于原点对称，则 $a =$ ， $b =$ ．

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16. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图象如图所示，则下列结论：① $a < 0$ ；② $9 a + 3 b + c > 0$ ；③ $c > 0$ ；④ $- 3 < - \frac{b}{2 a} < 0$ 中正确的是．

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三、解答题

17. 用适当的方法解下列方程：

(1)、 $2 x^{2} - 18 = 0$ ．

(2)、 $(m - 1)^{2} - 1 + m = 0$

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18. 在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为 $a * b = a^{2} - a b$ ．如： $2 * 1 = 2^{2} - 2 \times 1 = 2$ ．根据这个法则，

(1)、计算： $3 * 2 =$ ；

(2)、判断 $(t + 2) * (2 t + 1) = 0$ 是否为一元二次方程，并求解．

(3)、判断方程 $(x + 2) * 1 = 3$ 的根是否为 $x_{1} = \frac{- 3 - \sqrt{5}}{2}$ ， $x_{2} = \frac{- 3 + \sqrt{5}}{2}$ ，并说明理由．

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19. 已知 $x^{2} + 4 x - 5 = 0$ ，求代数式 $2 (x + 1) (x - 1) - {(x - 2)}^{2}$ 的值．

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20. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的弦，C是 $⊙ O$ 上的一点，且 $∠ A C B = 60 °$ ， $O D ⊥ A B$ 于点E，交 $⊙ O$ 于点D．若 $⊙ O$ 的半径为6，求弦 $A B$ 的长．

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21. 已知：如图，射线 $A M$ ．
求作： $△ A B C$ ，使得点B在射线 $A M$ 上， $∠ C = 90 °$ ， $∠ A = 60 °$ ．
作法：①在射线 $A M$ 上任取一点O；
②以点O为圆心， $O A$ 的长为半径画圆，交射线 $A M$ 于另一点B；
③以点A为圆心， $A O$ 的长为半径画弧，在射线 $A M$ 上方交 $⊙ O$ 于点C；
④连接 $A C$ 、 $B C$ ．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明： $∵ A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点C在 $⊙ O$ 上，
$∴ ∠ A C B = 90 °$ （ ▲ ）（填推理依据）．
连接 $O C$ ．
$∵ O A = O C = A C$ ，
$∴ △ A O C$ 为等边三角形（ ▲ ）（填推理依据）．
$∴ ∠ A = 6 0^{°} .$
所以 $△ A B C$ 为所求作的三角形．

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22. 已知关于x的方程x²﹣4mx+4m²﹣9=0．

(1)、求证：此方程有两个不相等的实数根；

(2)、设此方程的两个根分别为x₁ ， x₂ ，其中x₁＜x₂ ．若2x₁=x₂+1，求 m的值．

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23. 苗木种植不仅绿了家园，助力脱贫攻坚，也成为乡村增收致富的“绿色银行”．小王承包了一片荒山，他想把这片荒山改造成一个苹果园，现在有一种苹果树苗，它的成活率如下表所示：
移植棵数（n）
成活数（m）
成活率（ $\frac{m}{n}$ ）
移植棵数（n）
成活数（m）
成活率（ $\frac{m}{n}$ ）
50
47
0.940
1500
1335
0.890
270
235
0.870
3500
3203
0.915
400
369
0.923
7000
6335
$x$
750
662
0.883
14000
12628
0.902
根据以上信息，回答下列问题：

(1)、当移植的棵数是7000时，表格记录成活数是，那么成活率x是

(2)、随着移植棵数的增加，树苗成活的频率总在0.900附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计树苗成活的概率是

(3)、若小王移植10000棵这种树苗，则可能成活；

(4)、若小王移植20000棵这种树苗，则一定成活18000棵．此结论符合题意吗？说明理由．

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24. 已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
$x$
…
$- 1$
0
1
2
3
…
$y$
…
0
$- 3$
$m$
$- 3$
0
…

(1)、求这个二次函数的表达式；

(2)、求m的值；

(3)、在给定的平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象；

(4)、这个二次函数的图象经过点 $(- 2 ， b)$ 和 $(a ， b)$ 两点，写出 $a =$ ， $b =$ ．

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25. 数字“122”是中国道路交通事故报警电话．为推进“文明交通行动计划”，公安部将每年的12月2日定为“交通安全日”．班主任决定从4名同学（小迎，小冬，小奥，小会）中通过抽签的方式确定2名同学去参加宣传活动．
抽签规则：将4名同学的姓名分别写在4张完全相同的卡片正面，把4张卡片的背面朝上，洗匀后放在桌子上，班主任先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的3张卡片中随机抽取一张，记下名字．

(1)、“小冬被抽中”是事件，“小红被抽中”是事件（填“不可能”、“必然”、“随机”），第一次抽取卡片抽中小会的概率是；

(2)、试用画树状图或列表的方法表示这次抽签所有可能的结果，并求出小奥被抽中的概率．

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26. 如图，以四边形 $A B C D$ 的对角线 $B D$ 为直径作圆，圆心为O，点A、C在 $⊙ O$ 上，过点A作 $A E ⊥ C D$ 的延长线于点E，已知 $D A$ 平分 $∠ B D E$ ．

(1)、求证： $A E$ 是 $⊙ O$ 切线；

(2)、若 $A E = 4$ ， $C D = 6$ ，求 $⊙ O$ 的半径和 $A D$ 的长．

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27. $△ A C B$ 中， $∠ C = 90 °$ ，以点A为中心，分别将线段 $A B$ ， $A C$ 逆时针旋转 $60 °$ 得到线段 $A D$ ， $A E$ ，连接 $D E$ ，延长 $D E$ 交 $C B$ 于点F．

(1)、如图1，若 $∠ A = 60 °$ ， $∠ C F E$ 的度数为；

(2)、如图2，当 $30 ° < ∠ A < 60 °$ 吋，
①依题意补全图2；
②猜想 $C F$ 与 $A C$ 的数量关系，并加以证明．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = - x^{2} + b x + c$ 与x轴交于点A，B（A在B的左侧）．

(1)、抛物线的对称轴为直线 $x = 3$ ， $A B = 4$ ．求抛物线的表达式；

(2)、将（1）中的抛物线，向左平移两个单位后再向下平移，得到的抛物线经过点O，且与x正半轴交于点C，记平移后的抛物线顶点为P，若 $△ O C P$ 是等腰直角三角形，求点P的坐标；

(3)、当 $b = 4$ 时，抛物线上有两点 $M (x_{1} ， y_{1})$ 和 $N (x_{2} ， y_{2})$ ，若 $x_{1} < 2$ ， $x_{2} > 2$ ， $x_{1} + x_{2} > 4$ ，试判断 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小，并说明理由．

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移植棵数（n）	成活数（m）	成活率（ $\frac{m}{n}$ ）	移植棵数（n）	成活数（m）	成活率（ $\frac{m}{n}$ ）
50	47	0.940	1500	1335	0.890
270	235	0.870	3500	3203	0.915
400	369	0.923	7000	6335	$x$
750	662	0.883	14000	12628	0.902

$x$	…	$- 1$	0	1	2	3	…
$y$	…	0	$- 3$	$m$	$- 3$	0	…