北京市西城区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-01-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 二次函数 $y = 2 {(x - 3)}^{2} + 1$ 的图象的顶点坐标是（）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(2 ， 1)$ C、 $(3 ， - 1)$ D、 $(3 ， 1)$

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3. 如图，点A，B，C在 $⊙ O$ 上， $△ O A B$ 是等边三角形，则 $∠ A C B$ 的大小为（）

A、60° B、40° C、30° D、20°

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4. 将一元二次方程 $x^{2} - 8 x + 10 = 0$ 通过配方转化为 ${(x + a)}^{2} = b$ 的形式，下列结果中正确的是（）

A、 ${(x - 4)}^{2} = 6$ B、 ${(x - 8)}^{2} = 6$ C、 ${(x - 4)}^{2} = - 6$ D、 ${(x - 8)}^{2} = 54$

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5. 如图， $⊙ O$ 是正方形 $A B C D$ 的外接圆，若 $⊙ O$ 的半径为4，则正方形 $A B C D$ 的边长为（）

A、4 B、8 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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6. 生活垃圾无害化处理可以降低垃圾及其衍生物对环境的影响．据统计，2017年全国生活垃圾无害化处理能力约为2.5亿吨，随着设施的增加和技术的发展，2019年提升到约3.2亿吨．如果设这两年全国生活垃圾无害化处理能力的年平均增长率为x，那么根据题意可以列方程为（）

A、 $2.5 (1 + x) = 3.2$ B、 $2.5 (1 + 2 x) = 3.2$ C、 $2.5 {(1 + x)}^{2} = 3.2$ D、 $2.5 {(1 - x)}^{2} = 3.2$

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7. 下列说法中，正确的是（）

A、“射击运动员射击一次，命中靶心”是必然事件 B、事件发生的可能性越大，它的概率越接近1 C、某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票就一定会中奖 D、抛掷一枚图钉，“针尖朝上”的概率可以用列举法求得

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8. 抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 的顶点为 $A (2 ， m)$ ，且经过点 $B (5 ， 0)$ ，其部分图象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论：① $a c < 0$ ；② $a - b + c > 0$ ；③ $m + 9 a = 0$ ；④若此抛物线经过点 $C (t ， n)$ ，则 $t + 4$ 一定是方程 $a x^{2} + b x + c = n$ 的一个根．其中所有正确结论的序号是（）

A、①② B、①③ C、③④ D、①④

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二、填空题

9. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $(4 ， - 7)$ 关于原点的对称点坐标为．

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10. 关于x的一元二次方程 $x^{2} + m x + 4 = 0$ 有一个根为1，则m的值为．

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11. 如图1所示的铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为160°的圆弧形窗帘轨道（如图2）需用此材料 $800 π$ mm，则此圆弧所在圆的半径为mm．

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12. 写出一个开口向下，且对称轴在y轴左侧的抛物线的表达式：．

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13. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点A，B，C的横、纵坐标都为整数，过这三个点作一条圆弧，则此圆弧的圆心坐标为．

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14. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = - \frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} + 2$ 可以看作是抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 2$ 经过若干次图形的变化（平移、轴对称、旋转）得到的，写出一种由抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + 2$ 得到抛物线 $y = - \frac{1}{2} {(x - 4)}^{2} + 2$ 的过程：．

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15. 如图，将 $△ A B C$ 绕点A顺时针旋转 $α (0 ° < α < 90 °)$ 得到 $△ A D E$ ，点B的对应点D恰好落在边 $B C$ 上，则 $∠ A D E =$ ．（用含 $α$ 的式子表示）

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16. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， D是 $△ A B C$ 内的一个动点，满足 $A C^{2} - A D^{2} = C D^{2}$ ．若 $A B = 2 \sqrt{13}$ ， $B C = 4$ ，则 $B D$ 长的最小值为．

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三、解答题

17. 解方程： $x^{2} - 2 x - 2 = 0$ ．

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18. 问题：如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C在 $⊙ O$ 内，请仅用无刻度的直尺，作出 $△ A B C$ 中 $A B$ 边上的高.
小芸解决这个问题时，结合圆以及三角形高线的相关知识，设计了如下作图过程．
作法：如图，
①延长 $A C$ 交 $⊙ O$ 于点D，延长 $B C$ 交 $⊙ O$ 于点E；
②分别连接 $A E$ ， $B D$ 并延长相交于点F；
③连接 $F C$ 并延长交 $A B$ 于点H．
所以线段 $C H$ 即为 $△ A B C$ 中 $A B$ 边上的高．

(1)、根据小芸的作法，补全图形；

(2)、完成下面的证明．
证明：∵ $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点D，E在 $⊙ O$ 上，
∴ $∠ A D B = ∠ A E B =$ _ ▲ _°．（）（填推理的依据）
∴ $A E ⊥ B E$ ， $B D ⊥ A D$ ．
∴ $A E$ ， _▲_ 是 $△ A B C$ 的两条高线．
∵ $A E$ ， $B D$ 所在直线交于点F，
∴直线 $F C$ 也是 $△ A B C$ 的高所在直线．
∴ $C H$ 是 $△ A B C$ 中 $A B$ 边上的高．

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19. 已知二次函数 $y = x^{2} + 4 x + 3$ ．

(1)、求此函数图象的对称轴和顶点坐标；

(2)、画出此函数的图象；

(3)、若点 $A (0 ， y_{1})$ 和 $B (m ， y_{2})$ 都在此函数的图象上，且 $y_{1} < y_{2}$ ，结合函数图象，直接写出m的取值范围．

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20. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，射线 $A E$ 与边 $C D$ 交于点E，将射线 $A E$ 绕点A顺时针旋转，与 $C B$ 的延长线交于点F， $B F = D E$ ，连接 $F E$ ．

(1)、求证： $A F = A E$ ；

(2)、若 $∠ D A E = 30 °$ ， $D E = 2$ ，直接写出 $△ A E F$ 的面积．

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21. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (k + 5) x + 6 + 2 k = 0$ ．

(1)、求证：此方程总有两个实数根；

(2)、若此方程恰有一个根小于-1，求k的取值范围．

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22. 有甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有两个相同的球，它们分别写有数-2，2；乙口袋中装有三个相同的球，它们分别写有数-5，m，5．小明和小刚进行摸球游戏，规则如下：先从甲口袋中随机取出一个球，其上的数记为a；再从乙口袋中随机取出一个球，其上的数记为b.若 $a < b$ ，小明胜；若 $a = b$ ，为平局；若 $a > b$ ，小刚胜．

(1)、若 $m = - 2$ ，用树状图或列表法分别求出小明、小刚获胜的概率；

(2)、当m为何值时，小明和小刚获胜的概率相同？直接写出一个符合条件的整数m的值．

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23. 如图， $A B$ ， $A C$ 是 $⊙ O$ 的两条切线，切点分别为B，C，连接 $C O$ 并延长交 $⊙ O$ 于点D，过点D作 $⊙ O$ 的切线交 $A B$ 的延长线于点E， $E F ⊥ A C$ 于点F．

(1)、求证：四边形 $C D E F$ 是矩形；

(2)、若 $C D = 2 \sqrt{10}$ ， $D E = 2$ ，求 $A C$ 的长.．

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24. 某篮球队员的一次投篮命中，篮球从出手到命中行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度y（单位：m）与行进的水平距离x（单位：m）之间关系的图象如图所示．已知篮球出手位置A与篮筐的水平距离为4.5m，篮筐距地面的高度为3.05m；当篮球行进的水平距离为3m时，篮球距地面的高度达到最大为3.3m．

(1)、图中点B表示篮筐，其坐标为，篮球行进的最高点C的坐标为；

(2)、求篮球出手时距地面的高度．

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25. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， D是 $\overset{⌢}{A C}$ 的中点， $D E ⊥ B C$ 交 $B C$ 的延长线于点E．

(1)、求证： $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 10$ ， $B C = 8$ ，求 $B D$ 的长．

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26. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，抛物线 $y = a {(x - h)}^{2} - 8 a$ 的顶点为A， $0 < h < \frac{7}{2}$ ．

(1)、若 $a = 1$ ，
①点A到x轴的距离为 ▲ ；
②求此抛物线与x轴的两个交点之间的距离；

(2)、已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线 $y = - 2 x + 1$ 的两个交点分别为 $B (x_{1} ， y_{1})$ ， $C (x_{2} ， y_{2})$ ，其中 $x_{1} < x_{2}$ ，若点 $D (x_{D} ， y_{D})$ 在此抛物线上，当 $x_{1} < x_{D} < x_{2}$ 时， $y_{D}$ 总满足 $y_{2} < y_{D} < y_{1}$ ，求a的值和 $h$ 的取值范围．

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27. 如图1，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $C A = C B$ ，点D，E分别在边 $C A$ ， $C B$ 上， $C D = C E$ ，连接 $D E$ ， $A E$ ， $B D$ ．点F在线段 $B D$ 上，连接 $C F$ 交 $A E$ 于点H．

(1)、①比较 $∠ C A E$ 与 $∠ C B D$ 的大小，并证明；
②若 $C F ⊥ A E$ ，求证： $A E = 2 C F$ ；

(2)、将图1中的 $△ C D E$ 绕点C逆时针旋转 $α (0 ° < α < 90 °)$ ，如图2．若F是 $B D$ 的中点，判断 $A E = 2 C F$ 是否仍然成立．如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $⊙ O$ 的半径为1，点A在 $⊙ O$ 上，点P在 $⊙ O$ 内，给出如下定义：连接 $A P$ 并延长交 $⊙ O$ 于点B，若 $A P = k A B$ ，则称点P是点A关于 $⊙ O$ 的k倍特征点．

(1)、如图，点A的坐标为 $(1 ， 0)$ ．
①若点P的坐标为 $(- \frac{1}{2} ， 0)$ ，则点P是点A关于 $⊙ O$ 的 ▲ 倍特征点；
②在 $C_{1} (0 ， \frac{1}{2})$ ， $C_{2} (\frac{1}{2} ， 0)$ ， $C_{3} (\frac{1}{2} ， - \frac{1}{2})$ 这三个点中，点 ▲ 是点A关于 $⊙ O$ 的 $\frac{1}{2}$ 倍特征点；
③直线l经过点A，与y轴交于点D， $∠ D A O = 60 °$ .点E在直线l上，且点E是点A关于 $⊙ O$ 的 $\frac{1}{2}$ 倍特征点，求点E的坐标；

(2)、若当k取某个值时，对于函数 $y = - x + 1 (0 < x < 1)$ 的图象上任意一点M，在 $⊙ O$ 上都存在点N，使得点M是点N关于 $⊙ O$ 的k倍特征点，直接写出k的最大值和最小值．

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