北京市通州区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-01-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，关于a，c的符号判断正确的是（）

A、a＞0，c＞0 B、a＞0，c＜0 C、a＜0，c＞0 D、a＜0，c＜0

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2. 如图， $∠ α$ 的顶点位于正方形网格的格点上，若 $\tan α = \frac{2}{3}$ ，则满足条件的 $∠ α$ 是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 在半径为6cm的圆中， $120 °$ 的圆心角所对弧的弧长是（）

A、 $12 π$ cm B、 $3 π$ cm C、 $4 π$ cm D、 $6 π$ cm

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4. 如图，点A，B，C均在⊙O上，连接OA，OB，AC，BC，如果OA⊥OB，那么∠C的度数为（）

A、22.5° B、45° C、90° D、67.5°

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5. 如图，在 $▱ A B C D$ 中，E为BC的中点，DE、AC交于点F，则 $\frac{E F}{D F}$ 的值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{1}{2}$

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6. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点D在 $A B$ 的延长线上， $D C$ 切 $⊙ O$ 于点C．若 $∠ D = 30 °$ ， $C D = 2 \sqrt{3}$ ，则 $A C$ 等于（）．

A、6 B、4 C、 $2 \sqrt{3}$ D、3

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7. 如图，某停车场入口的栏杆从水平位置 $A B$ 绕点O旋转到 $A B$ 的位置．已知 $A O = 4$ 米，若栏杆的旋转角 $∠ A O A = 47 °$ ，则栏杆端点A上升的垂直距离 $A H$ 为（）

A、 $4 s i n 47 °$ 米 B、 $4 c o s 47 °$ 米 C、 $4 t a n 47 °$ 米 D、 $\frac{4}{s i n 47 °}$ 米

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8. 某同学将如图所示的三条水平直线 $m_{1}$ ， $m_{2}$ ， $m_{3}$ 的其中一条记为x轴（向右为正方向），三条竖直直线 $m_{4}$ ， $m_{5}$ ， $m_{6}$ 的其中一条记为y轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数 $y = a x^{2} - 2 a x + 1 (a < 0)$ 的图象，那么她所选择的x轴和y轴分别为直线（）

A、 $m_{1}$ ， $m_{4}$ B、 $m_{2}$ ， $m_{5}$ C、 $m_{3}$ ， $m_{6}$ D、 $m_{2}$ ， $m_{4}$

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二、填空题

9. 如图，在量角器的圆心O处下挂一铅锤，制作了一个简易测倾仪，从量角器的点A处观测，当量角器的0刻度线 $A B$ 对准旗杆顶端时，铅垂线对应的度数是 $40 °$ ，则此时观测旗杆顶端的仰角度数是．

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10. 如图，在 $△$ ABC中，∠C＝90°，AB=10，在同一平面内，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数）．那么常数a的值等于．

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11. 在 $△$ ABC中， $∠ C = 90 °$ ， $t a n A = \frac{4}{3}$ ， $B C = 8$ ，那么 $A C$ 的长为．

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12. 已知P( $x_{1}$ ， 1)，Q( $x_{2}$ ， 1)两点都在抛物线 $y = x^{2} - 4 x + 1$ 上，那么 $x_{1} + x_{2} =$ ．

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13. 如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在地面放了一个平面镜C，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部A．如果他的眼睛到地面的距离ED＝1.6m，同时量得他到平面镜C的距离DC＝2m，平面镜C到旗杆的底部B的距离CB＝15m，那么旗杆高度AB＝m．

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14. 如图，过点A(0，4)作平行于x轴的直线AC分别交抛物线 $y_{1} = x^{2} (x ≥ 0)$ 与 $y_{2} = \frac{1}{4} x^{2} (x ≥ 0)$ 于B、C两点，那么线段BC的长是．

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15. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点P表示筒车的一个盛水桶.如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方.若圆被水面截得的弦AB长为8m，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为m.

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16. 如图， $△$ ABC的两条中线BE，CD交于点M．某同学得出以下结论：① $D E ∥ B C$ ；② $△$ ADE∽ $△$ ABC；③ $\frac{S_{△ E M D}}{S_{△ E M C}} = \frac{1}{4}$ ；④ $\frac{E M}{E B} = \frac{1}{3}$ ．其中结论正确的是：（只填序号）．

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三、解答题

17. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数 $y = x^{2} + m x + n$ 的图象经过点 $A (0 ， 1) ， B (3 ， 4)$ ．求此二次函数的表达式及顶点的坐标．

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18. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 12$ ， $B C = 5$ .求 $\sin A$ ， $\cos A$ 和 $\tan A$ .

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19. 如图， $∠ M A N = 30 °$ ，点B、C分别在AM、AN上，且 $∠ A B C = 40 °$ ．

(1)、尺规作图：作∠CBM的角平分线BD，BD与AN相交于点D；（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、在（1）所作的图中，求证： $△$ ABC∽ $△$ ADB．

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20. 已知关于x的二次函数 $y = x^{2} - 4 x + m$ ．

(1)、如果二次函数 $y = x^{2} - 4 x + m$ 的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且AB=2，求m的值；

(2)、若对于每一个x值，它所对应的函数值都不小于1，求m的取值范围．

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21. 已知：A，B是直线l上的两点．
求作： $△$ ABC，使得点C在直线l上方，且AC=BC， $∠ A C B = 30 °$ ．
作法：①分别以A，B为圆心，AB长为半径画弧，在直线l上方交于点O，在直线l下方交于点E；
②以点O为圆心，OA长为半径画圆；
③作直线OE与直线l上方的⊙O交于点C；
④连接AC，BC． $△$ ABC就是所求作的三角形．

(1)、使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；

(2)、完成下面的证明．
证明：连接OA，OB．
∵OA＝OB＝AB，
∴ $△$ OAB是等边三角形．
∴ $∠ A O B = 60 °$ ．
∵A，B，C在⊙O上，
∴∠ACB＝ $\frac{1}{2}$ ∠AOB（）（填推理的依据）．
∴ $∠ A C B = 30 °$ ．
由作图可知直线OE是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC（）（填推理的依据）．
∴ $△$ ABC就是所求作的三角形．

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22. 如图，在⊙O中，点E是弦CD的中点，过点O，E作直径AB（AE＞BE），连接BD，过点C作CF $∥$ BD交AB于点G，交⊙O于点F，连接AF．求证：AG＝AF．

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23. 已知一个二次函数的表达式为 $y = (x - a) (x - 1)$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，若P( $- 1$ ， $b$ )，Q(m，b)两点在该二次函数图象上，求m的值；

(2)、已知点A( $- 1$ ， 0)，B( $2$ ， $0$ )，二次函数 $y = (x - a) (x - 1)$ 的图象与线段AB只有一个公共点，直接写出a的取值范围．

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24. 如图， $△$ ABC是⊙O的内接三角形， $∠ B A C = 75 °$ ， $∠ A B C = 45 °$ ，连接AO并延长交⊙O于点D，过点C作⊙O的切线，与BA的延长线相交于点E．

(1)、求证：AD∥EC；

(2)、若AD＝6，求线段AE的长．

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25. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + a (a < 0)$ 的图象与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B，点B在二次函数 $y = a x^{2} + b x + a (a < 0)$ 的图象上．

(1)、求点B的坐标（用含a的代数式表示）；

(2)、二次函数的对称轴是直线；

(3)、已知点( $m - 1$ ， $y_{1}$ )，( $m$ ， $y_{2}$ )，( $m + 2$ ， $y_{3}$ )在二次函数 $y = a x^{2} + b x + a (a < 0)$ 的图象上．若 $0 < m < 1$ ，比较 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小，并说明理由．

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26. 如图，O为四边形ABCD内一点，E为AB的中点，OA＝OD，OB＝OC，∠AOB+∠COD＝ $180 °$ ．

(1)、若∠BOE＝∠BAO，AB＝ $2 \sqrt{2}$ ，求OB的长；

(2)、用等式表示线段OE和CD之间的关系，并证明．

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27. 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：若点P在图形M上，点Q在图形N上，称线段PQ长度的最小值为图形M，N的“近距离”，记为d(M，N)，特别地，若图形M，N有公共点，规定d(M，N)＝0．已知：如图，点A( $- 2$ ， 0)，B(0， $2 \sqrt{3}$ )．

(1)、如果⊙O的半径为2，那么d(A，⊙O)＝， d(B，⊙O)＝．

(2)、如果⊙O的半径为r，且d（⊙O，线段AB）=0，求r的取值范围；

(3)、如果C(m，0)是x轴上的动点，⊙C的半径为1，使d（⊙C，线段AB）<1，直接写出m的取值范围．

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