北京市东城区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题

试卷更新日期：2022-01-26 类型：期末考试

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一、单选题

1. 一元二次方程 $2 x^{2} + x - 5 = 0$ 的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）

A、2，1，5 B、2，1，－5 C、2，0，－5 D、2，0，5

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2. 下列四个图形中，为中心对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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3. 将抛物线y＝x²向上平移3个单位长度得到的抛物线是（）

A、 $y = x^{2} + 3$ B、 $y = x^{2} - 3$ C、 $y = （ x + 3 ）^{2}$ D、 $y = （ x - 3)^{2}$

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4. 在平面直角坐标系xOy中，点A（2，3）关于原点对称的点的坐标是（）

A、（2，－3） B、（－2，3） C、（3，2） D、（－2，－3）

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5. 用配方法解方程x²＋4x＝1，变形后结果正确的是（）

A、(x＋2)²＝5 B、(x＋2)²＝2 C、(x－2)²＝5 D、(x－2)²＝2

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6. 中国象棋文化历史久远．在图中所示的部分棋盘中，“馬”的位置在“”（图中虚线）的下方，“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在“”上方的概率是（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{6}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{2}$

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7. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，点C为⊙O上一点，若∠ACB＝70°，则∠P的度数为（）

A、70° B、50° C、20° D、40°

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8. 如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以点A为圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（）

A、正比例函数关系，一次函数关系 B、一次函数关系，正比例函数关系 C、一次函数关系，二次函数关系 D、正比例函数关系，二次函数关系

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二、填空题

9. 抛物线 $y = - 3 (x - 1)^{2} + 2$ 的顶点坐标是．

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10. 若关于x的一元二次方程x²－2x＋m＝0有一个根为1，则m的值为．

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11. 写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的解析式．

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12. 社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里，装有20个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后，从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象，如图所示，经分析可以推断“摸出黑球”的概率约为．

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13. 2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为．

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14. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，若∠DAE=110°，∠B=40°，则∠C的度数为．

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15. 斛是中国古代的一种量器.据《汉书 .律历志》记载：“斛底，方而圜（huán）其外，旁有庣（tiāo）焉”．意思是说：“斛的底面为：正方形外接一个圆，此圆外是一个同心圆” . 如图所示，
问题：现有一斛，其底面的外圆直径为两尺五寸（即2.5尺），“庣旁”为两寸五分（即两同心圆的外圆与内圆的半径之差为0.25尺），则此斛底面的正方形的边长为尺．

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16. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，E，F分别是边DC，CB上的动点，且始终满足DE＝CF，AE，DF交于点 P，则∠APD的度数为；连接CP，线段CP长的最小值为．

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三、解答题

17. 解方程： $x^{2} - 2 x - 8 = 0$

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18. 如图，AB为⊙O的弦，OC⊥AB于点M，交⊙O于点C．若⊙O的半径为10，OM：MC＝3：2，求AB的长．

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19. 下面是小明设计的“作圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程.
已知：⊙O.
求作：⊙O的内接等腰直角三角形ABC.
作法：如图，
①作直径AB；
②分别以点A， B为圆心，以大于 $\frac{1}{2} A B$ 的长为半径作弧，两弧交于M 点；
③作直线MO交⊙O于点C，D；
④连接AC，BC．
所以△ABC就是所求的等腰直角三角形.
根据小明设计的尺规作图过程，解决下面的问题：

(1)、完成下面的证明.
证明：连接MA，MB．
∵MA=MB，OA=OB，
∴MO是AB的垂直平分线．
∴AC= ▲ ．
∵AB是直径，
∴∠ACB= ▲ （） (填写推理依据) ．
∴△ABC是等腰直角三角形．

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20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax²+2x＋c的部分图象经过点A(0，－3)，B(1，0) ．

(1)、求该抛物线的解析式；

(2)、结合函数图象，直接写出y＜0时，x的取值范围．

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21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点坐标分别为O（0，0），A（5，0）， B（4，－3），将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OA′B′，点A旋转后的对应点为A´．

(1)、画出旋转后的图形△OA′B′，并写出点A′ 的坐标；

(2)、求点B经过的路径 $\overset{⌢}{B B'}$ 的长（结果保留π）.

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22. 2021年6月17日，神舟十二号成功发射，标志着我国载人航天踏上新征程．某学校举办航天知识讲座，需要两名引导员，决定从A，B，C，D四名志愿者中，通过抽签的方式确定两人．抽签规则：将四名志愿者的名字分别写在四张完全相同且不透明卡片的正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的三张卡片中随机抽取第二张，记下名字．

(1)、“A志愿者被选中”是事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）；

(2)、用画树状图或列表的方法求出A，B两名志愿者同时被选中的概率．

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23. 已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (k + 4) x + 4 k = 0$ ．

(1)、求证：该方程总有两个实数根；

(2)、若该方程有一个根小于2，求k的取值范围．

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24. 为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形小花园ABCD，小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园AB边的长为xm，面积为ym² ．

(1)、求y与x之间的函数关系式；

(2)、当x为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？

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25. 如图，AC是⊙O的弦，过点O作OP⊥OC交AC于点P，在OP的延长线上取点B，使得BA＝BP．

(1)、求证：AB是⊙O的切线；

(2)、若⊙O的半径为4，PC＝ $2 \sqrt{5}$ ，求线段AB的长．

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26. 在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和（2，n）在抛物线 $y = - x^{2} + b x$ 上．

(1)、若m＝0，求该抛物线的对称轴；

(2)、若mn＜0，设抛物线的对称轴为直线 $x = t$ ，
①直接写出t的取值范围；
②已知点（－1，y₁），（ $\frac{3}{2}$ ， y₂），（3，y₃）在该抛物线上．比较y₁ ， y₂ ， y₃的大小，并说明理由．

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27. 如图，在等边三角形ABC中，点P为△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将线段AP绕点A 顺时针旋转60°得到 $A P^{^{'}}$ ，连接 $P P ， B P$ ．

(1)、用等式表示 $B P$ 与CP的数量关系，并证明；

(2)、当∠BPC＝120°时，
①直接写出 $∠ P B P$ 的度数为；
②若M为BC的中点，连接PM，请用等式表示PM与AP的数量关系，并证明．

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28. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，⊙O的半径为1，对于直线l和线段AB，给出如下定义：若将线段AB关于直线l对称，可以得到⊙O的弦A´B´（A´，B´分别为A，B的对应点），则称线段AB是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．例如：在图1中，线段 $A B$ 是⊙O的关于直线l对称的“关联线段”．

(1)、如图2， $A_{1} ， B_{1 ，} A_{2} ， B_{2} ， A_{3} ， B_{3}$ 的横、纵坐标都是整数．
①在线段 $A_{1} B_{1 ，} A_{2} B_{2} ， A_{3} B_{3}$ 中，⊙O的关于直线y＝x＋2对称的“关联线段”是；
②若线段 $A_{1} B_{1 ，} A_{2} B_{2} ， A_{3} B_{3}$ 中，存在⊙O的关于直线y＝－x＋m对称的“关联线段”，则 $m$ ＝；

(2)、已知直线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + b (b ＞ 0 ）$ 交x轴于点C，在△ABC中，AC=3，AB=1，若线段AB是⊙O的关于直线 $y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x + b (b ＞ 0 ）$ 对称的“关联线段”，直接写出b的最大值和最小值，以及相应的BC长．

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