2021-2022学年浙教版数学九下2.3 三角形的内切圆同步练习

试卷更新日期：2022-01-25 类型：同步测试

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一、单选题

1. 一直角三角形的斜边长为c，其内切圆半径是r，则三角形面积与其内切圆的面积之比是（）

A、 $\frac{c + 2 r}{π r}$ B、 $\frac{c + r}{π r}$ C、 $\frac{2 c + r}{π r}$ D、 $\frac{c^{2} + r^{2}}{π r}$

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2. 如图所示，已知⊙I是△ABC的内切圆，点I是内心，若∠A＝35°，则∠BIC等于（）

A、35° B、70° C、145° D、107.5°

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3. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A G$ 平分 $∠ C A B$ ，使用尺规作射线 $C D$ ，与 $A G$ 交于点 $E$ ，下列判断正确的是（）

A、 $A G$ 平分 $C D$ B、 $∠ A E D = ∠ A D E$ C、点 $E$ 是 $△ A B C$ 的内心 D、点 $E$ 到点 $A$ ， $B$ ， $C$ 的距离相等

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4. 利用尺规作一个任意三角形的内心 $P$ ，以下作法正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图，点 $O$ 为 $△ A B C$ 的内心， $∠ A = 60 °$ ， $O B = 2$ ， $O C = 4$ ，则 $△ O B C$ 的面积是（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、2 D、4

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6. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ 其周长为20，⊙I是 $Δ A B C$ 的内切圆，其半径为 $\sqrt{3}$ ，则 $Δ B I C$ 的外接圆半径为（）

A、7 B、 $7 \sqrt{3}$ C、 $\frac{7 \sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3}$

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7. 如图所示，在4×4的网格中，A、B、C、D、O均在格点上，则点O是（）

A、△ABC的内心 B、△ABC的外心 C、△ACD的外心 D、△ACD的重心

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8. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B + A C = \frac{5}{2} B C$ ， $A D ⊥ B C$ 于D，⊙O为 $Δ A B C$ 的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则 $\frac{R}{h}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{7}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{3}{4}$

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C > B C$ ．小丽按照下列方法作图：
①作 $∠ B A C$ 的角平分线 $A D$ ，交 $B C$ 于点D；

②作 $A C$ 的垂直平分线，交 $A D$ 于点E ．

根据小丽画出的图形，判断下列说法中正确的是（）

A、点E是 $△ A B C$ 的外心 B、点E是 $△ A B C$ 的内心 C、点E在 $∠ B$ 的平分线上 D、点E到 $A C ， B C$ 边的距离相等

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10. ⊙O为△ABC的内切圆，那么点O是△ABC的（）

A、三条中线交点 B、三条高的交点 C、三条边的垂直平分线的交点 D、三条角平分线交点

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二、填空题

11. 如图，△ABC的内切圆⊙O与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，则AF的长为．

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12. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = C B ， A D = C D$ ．若 $∠ A B D = ∠ A C D = 30 ° ， A D = 1$ ，则 $△ A B C$ 的内切圆面积（结果保留 $π$ ）．

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13. 如图，已知 $⊙ O$ 的半径为2，弦 $A B = 2 \sqrt{3}$ ，点 $P$ 为优弧 $\hat{A P B}$ 上动点，点 $I$ 为 $△ P A B$ 的内心，当点 $P$ 从点 $A$ 向点 $B$ 运动时，点 $I$ 移动的路径长为.

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14. 已知△ABC中，⊙I为△ABC的内切圆，切点为H，若BC＝6，AC＝8，AB＝10，则点A到圆上的最近距离等于．

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15. 已知△ABC 的三边之和为m，S_△ABC=S，则它的内心到各边的距离均为.

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16. 如图，边长为 $2 \sqrt{3}$ 的等边△ABC的内切圆的半径为.

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三、综合题

17. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心（三角形三个内角平分线的交点），连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD＝DF，连接CF、BE

(1)、求证：DB＝DE

(2)、求证：直线CF为⊙O的切线

(3)、若CF＝4，求图中阴影部分的面积

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18. 如图，开口向上的抛物线y＝ax²﹣2ax﹣3a与X轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），顶点为D.经过点A的直线y＝kx+b（k＞0）与抛物线的另一个交点为C.

(1)、求点C的坐标（用含a、k的代数式表示）.

(2)、当△ACD的内心恰在X轴上时，求 $\frac{k}{a}$ 得值.

(3)、已知△ADB为直角三角形：
①a的值等于（直接写出结果）.

②若直线AC下方的拋物线上存在点P，使△APC∽△ADB，求ｋ的值及点P的坐标.

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19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的 $Δ A B C$ ，且 $∠ B = 90 °$ ．

(1)、将 $Δ A B C$ 绕点 $O$ 顺时针旋转90°后得到 $Δ E F G$ （其中 $A ， B ， C$ 三点旋转后的对应点分别是 $E ， F ， G$ ），画出 $Δ E F G$ ．

(2)、设 $Δ E F G$ 的内切圆的半径为 $r$ ， $Δ E F G$ 的外接圆的半径为 $R$ ，则 $\frac{r}{R} =$ ．

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20. 阅读以下材料，并按要求完成相应地任务：

莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则 $O I^{2} = R^{2} - 2 R r$ .

如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d²＝R²﹣2Rr．

下面是该定理的证明过程（部分）：

延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.

∵∠D=∠N，∠DMI=∠NAI(同弧所对的圆周角相等)，

∴△MDI∽△ANI，

∴ $\frac{I M}{I A} = \frac{I D}{I N}$ ，

∴ $I A \cdot I D = I M \cdot I N$ ①，

如图2，在图1(隐去MD，AN)的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF，

∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°，

∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，

∴∠DBE=∠IFA，

∵∠BAD=∠E(同弧所对圆周角相等)，

∴△AIF∽△EDB，

∴ $\frac{I A}{D E} = \frac{I F}{B D}$ ，∴ $I A \cdot B D = D E \cdot I F$ ②，

任务：

(1)、观察发现： $I M = R + d$ ， $I N =$ (用含R，d的代数式表示)；

(2)、请判断BD和ID的数量关系，并说明理由；

(3)、请观察式子①和式子②，并利用任务(1)，(2)的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；

(4)、应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm.

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21. 如图，点 $E$ 是 $△ A B C$ 的内心， $A E$ 的延长线和 $△ A B C$ 的外接圆 $⊙ O$ 相交于点 $D$ ，过 $D$ 作直线 $D G // B C$ .

(1)、求证： $D G$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、求证： $D E = C D$ ；

(3)、若 $D E = 2 \sqrt{5}$ ， $B C = 8$ ，求 $⊙ O$ 的半径.

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22. 有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形.

(1)、如图1，在等邻边互补四边形ABCD中，AD=CD，且AD//BC， BC=2AD，求∠B的度数；

(2)、如图2，四边形ABCD内接于圆O，连结DO交AC于点E (不与点O重合)，若E是AC的中点，求证：四边形ABCD是等邻边互补四边形；

(3)、在(2) 的条件下，延长DO交BC于点F，交圆0于点G，若弧BG=弧AB， tan∠ABC= $\frac{24}{7}$ ，AC=12，求FG的长；

(4)、如图3，四边形ABCD内接于圆O，AB=BC， BD为圆0的直径，连结AO并延长交BC于点E，交圆0于点F，连结FC，设tan∠BAF=x， $\frac{E F}{A E} = y$ ，求y与x之间的函数关系式.

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23. 已知直线y= $- \frac{3}{4} x + 3$ 分别交x轴、y轴于A、B两点.点P从A点出发在x轴上以每秒5个单位的速度向左运动，同时点Q从A点出发沿射线AB以每秒4个单位的速度运动.

(1)、试说明：运动过程中PQ始终垂直于AB；

(2)、当四边形BOPQ的面积是△ABO面积的一半时，求出发多长时间？

(3)、当△APQ的内心恰好在OB上时，求运动时间.

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24. 在△ABC中，∠C= $α$ ，⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均相切，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n.

(1)、当 $α$ =90°时，AC=6，BC=8时，m= ， n=.

(2)、当 $α$ 取下列度数时，求△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示，并直接写出答案）.①如图， $α$ =90°；②如图， $α$ =60°.

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25. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，AB＝2．AD⊥BC于D．E为边BC上的一个（不与B、C重合）点，且AE⊥EF于E，∠EAF＝∠B，AF相交于点F．

(1)、填空：AC＝；∠F＝．

(2)、当BD＝DE时，证明：△ABC≌△EAF．

(3)、△EAF面积的最小值是．

(4)、当△EAF的内心在△ABC的外部时，直接写出AE的范围．

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26. 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI $^{2}$ =R $^{2}$ -2Rr.

下面是该定理的证明过程（借助了第（2）问的结论）：

延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN.

∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等），

∴△MDI∽△ANI.∴ $\frac{I M}{I A} = \frac{I D}{I N}$ ，∴IA×ID=IM×IN①

如图②，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF

∵DE是⊙O的直径，∴∠DBE=90°.

∵⊙I与AB相切于点F，∴∠AFI=90°，

∴∠DBE=∠IFA．

∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等），

∴△AIF∽△EDB．

∴ $\frac{I A}{D E} = \frac{I F}{B D}$ ，∴ $I A \cdot B D = D E \cdot I F$ ②，

由（2）知： $B D = I D$ ，

∴ $I A \cdot I D = D E \cdot I F$

又∵ $D E \cdot I F = I M \cdot I N$ ，

∴2Rr=（R+d）（R-d），

∴R $^{2}$ -d $^{2}$ =2Rr

∴d $^{2}$ =R $^{2}$ -2Rr

任务：

(1)、观察发现：IM=R+d，IN=（用含R，d的代数式表示）；

(2)、请判断BD和ID的数量关系，并说明理由.（请利用图1证明）

(3)、应用：若△ABC的外接圆的半径为6cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离cm．

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27. 如图，点 $E$ 是 $Δ A B C$ 的内心， $A E$ 的延长线和 $Δ A B C$ 的外接圆圆 $O$ 相交于点 $D$ ，过 $D$ 作直线 $D G / / B C$ .

(1)、求证： $D G$ 是圆 $O$ 的切线；

(2)、若 $D E = 6$ ， $B C = 6 \sqrt{3}$ ，求优弧 $\overset{⌢}{B A C}$ 的长.

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