四川省泸州市2021-2022学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 双曲线 $x^{2} - y^{2} = 2$ 的渐近线的斜率是（）

A、1 B、±1 C、-1 D、 $\frac{1}{2}$

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2. 下列四个命题中，为真命题的是（）

A、若a＞b，则ac²＞bc² B、若a＞b，c＞d，则a﹣c＞b﹣d C、若a＞|b|，则a²＞b² D、若a＞b，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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3. 在空间直角坐标系中，方程 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$ 所表示的图形是（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、球

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4. 某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其售价进行调查，5家商场的售价 $x$ （元）和销售量 $y$ （件）之间的一组数据如表所示.按公式计算， $y$ 与 $x$ 的回归直线方程是 $\hat{y} = - 3.2 x + \hat{a}$ ，则下列说法错误的是（）

售价 $x$

9

9.5

10

10.5

11

销售量 $y$

11

10

8

6

5

A、 $\hat{a} = 40$ B、售价变量 $x$ 每增加1个单位时，销售变量大约减少3.2个单位 C、当 $x = 8.5$ 时， $y$ 的估计值为12.8 D、销售量与售价成正相关

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5. 已知条件 $p ： a \geq 2$ ，条件 $q ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1$ 表示焦点在x轴上的椭圆，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既非充分也非必要条件

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6. 执行如图所示的程序框图，若输出的 $S = 8$ ，则输入的 $k$ 可能为（）

A、9 B、5 C、4 D、3

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7. 一个几何体的三视图都是半径为1的圆，在该几何体内放置一个高度为1的长方体，则长方体的体积最大值为（）

A、 $\frac{4}{3} π$ B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{3}{2} π$ D、1

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8. 已知m，n表示两条不同直线， $α ， β$ 表示两个不同平面.设有两个命题： $p_{1}$ ：若 $m ∥ α ， m ⊥ n$ ，则 $n ⊥ α$ ； $p_{2}$ ：若 $α ⊥ β ， m ⊥ α ， n ⊥ β$ ，则 $m ⊥ n$ .则下列命题中为真命题的是（）

A、 $p_{1} \land p_{2}$ B、 $(\neg p_{1}) \land p_{2}$ C、 $p_{1} \lor (\neg p_{2})$ D、 $\neg (p_{1} \lor p_{2})$

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9. 如图，两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为r的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切.已知 $R = \sqrt{2} ， r = 2 - \sqrt{2}$ 时，在两相交大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为（）

A、 $\frac{4 - π}{3 π + 2}$ B、 $\frac{π - 2}{4 π}$ C、 $\frac{π - 2}{3 π + 2}$ D、 $\frac{π - 1}{3 π + 2}$

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10. 动点P，Q分别在抛物线 $x^{2} = 4 y$ 和圆 $x^{2} + y^{2} - 8 y + 13 = 0$ 上，则 $| P Q |$ 的最小值为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{1}{2} \sqrt{3}$ D、 $\frac{3}{2} \sqrt{3}$

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11. 设双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若 $| F_{1} A | = | A B | = 2 | F_{1} B |$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）

A、4 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2}$

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12. 对于圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 上任意一点 $P (x ， y) ， | x - y + m | + | x - y + n | (m \neq n)$ 的值与x，y无关，有下列结论：
①当 $| m - n | = 2 \sqrt{2}$ 时，r有最大值1；②在r取最大值时，则点 $(a ， b)$ 的轨迹是一条直线；③当 $r = \sqrt{2} ， m = 2$ 时，则 $n \in [6 ， + \infty)$ .

其中正确的个数是（）

A、3 B、2 C、1 D、0

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二、填空题

13. 不等式 $\frac{1}{x} > 2$ 的解集是

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14. 某中学高三（2）班甲，乙两名同学自高中以来每次考试成绩的茎叶图如图所示，则甲的中位数与乙的极差的和为.

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15. 已知矩形的长为2，宽为1，以该矩形的边所在直线为轴旋转一周得到的几何体的表面积为.

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16. 某人有楼房一栋，室内面积共计 $348 m^{2}$ ，拟分割成两类房间作为旅游客房，大房间每间面积为 $36 m^{2}$ ，可住游客4名，每名游客每天的住宿费100元；小房间每间面积为 $30 m^{2}$ ，可住游客2名，每名游客每天的住宿费150元；装修大房间每间需要3万元，装修小房间每间需要2万元.如果他只能筹款25万元用于装修，且假定游客能住满客房，则该人一天能获得的住宿费的最大值为元.

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三、解答题

17. 已知圆C的圆心在直线 $x - 2 y = 0$ 上，且过点 $(0 ， 1) ， (2 ， - 1)$ .

(1)、求圆C的方程；

(2)、若圆C与直线 $l ： x - y + m = 0$ 交于A，B两点，且 $∠ A C B = 120 °$ ，求m的值.

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18. 已知函数 $f (x) = 2 x^{2} - 2 a x + 1$ ．

(1)、解关于 $x$ 的不等式 $f (x) > a + 1 - x$ ；

(2)、若不等式 $f (x) < 0$ 在 $x \in [- 2 ， 0)$ 上有解，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 某工厂为了解甲､乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲､乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了1000件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按 $[2 ， 4) ， [4 ， 6) ， [6 ， 8) ， [8 ， 10]$ 分组，得到如图所示的频率分布直方图，若该工厂认定产品的质量指数不低于6为优良级产品，产品的质量指数在 $[8 ， 10]$ 内时为优等品.

(1)、用统计有关知识判断甲､乙两条生产线所生产产品的质量哪一条更好，并说明理由（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、用分层抽样的方法从该工厂样品的优等品中抽取6件产品，在这6件产品中随机抽取2件，求抽取到的2件产品都是甲生产线生产的概率.

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20. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = - 4 x$ ，直线 $l$ 过定点 $P (0 ， 1)$ .

(1)、若 $l$ 与 $C$ 仅有一个公共点，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若 $l$ 与 $C$ 交于A，B两点，直线OA，OB（其中О为坐标原点）的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，试探究在 $k_{1} - k_{2}$ ， $k_{1} + k_{2}$ ， $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ ， $k_{1} k_{2}$ 中，运算结果是否有为定值的？并说明理由.

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21. 如图1，已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = 3 ， B C = \sqrt{2}$ ，E为 $C D$ 上一点且 $C E = 2 D E$ .现将 $△ A D E$ 沿着 $A E$ 折起，使点D到达点P的位置，且 $P E ⊥ B E$ ，得到的图形如图2.

(1)、证明 $△ B P A$ 为直角三角形；

(2)、设动点M在线段 $A P$ 上，判断直线 $E M$ 与平面 $P C B$ 的位置关系，并说明理由.

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22. 已知P，Q的坐标分别为 $(- \sqrt{2} ， 0)$ ， $(\sqrt{2} ， 0)$ ，直线PM，QM相交于点M，且它们的斜率之积是 $- \frac{1}{2}$ .设点M的轨迹为曲线C.

(1)、求曲线 $C$ 的方程；

(2)、设 $O$ 为坐标原点，圆 $O$ 的半径为1，直线 $l$ ： $y = k x + m$ 与圆 $O$ 相切，且与曲线 $C$ 交于不同的两点A，B.当 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = λ$ ，且满足 $\frac{2}{3} < λ < \frac{3}{4}$ 时，求 $△ A O B$ 面积的取值范围.

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售价 $x$	9	9.5	10	10.5	11
销售量 $y$	11	10	8	6	5