山西省怀仁市2022届高三上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 1 < x < 2}$ ， $B = {x | x > m}$ ，若 $A ∩ (C_{R} B) = \emptyset$ ，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- \infty ， 1]$ B、 $(- \infty ， 1)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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2. 关于复数 $z = a + b i$ （a， $b \in R$ ， $i$ 为虚数单位），下列说法正确的是（）

A、若 $z = - 1 + i$ 则 $| z | = 2$ B、若 $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则 $\bar{z} \cdot z = z^{2}$ C、复数 $z = 1 + 2 i$ 的虚部为 $2 i$ D、若 $z = \frac{2 i}{1 + \sqrt{3} i}$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点的坐标为 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$

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3. 已知 $α, β \in R$ ，则“存在 $k \in Z$ 使得 $α = k π + {(- 1)}^{k} β$ ”是“ $\sin α = \sin β$ ”的（）．

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 某商场为了解销售活动中某商品销售量 $y$ 与活动时间 $x$ 之间的关系，随机统计了某5次销售活动中的商品销售量与活动时间，并制作了下表：
活动时间 $x$
2
4
5
6
8
销售量 $y$
25
40
60
70
80
由表中数据可知，销售量 $y$ 与活动时间 $x$ 之间具有线性相关关系，算得线性回归方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + 6.25$ ，据此模型预测当 $x = 7$ 时， $\hat{y}$ 的值为（）

A、72.5 B、73.5 C、74.5 D、75.5

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5. 已知 $l o g_{b} 2021 > l o g_{a} 2021 > 0$ ，则下列结论正确的序号是（）
① $0 . 2^{a} < 0 . 2^{b}$ ， ② $\frac{1}{a^{2}} > \frac{1}{b^{2}}$ ， ③ $l n b + a > l n a + b$ ， ④若 $m > 0$ ，则 $\frac{a}{b} < \frac{a + m}{b + m}$

A、①② B、①③ C、①④ D、②④

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6. 过抛物线 $y^{2} = 4 x$ 的焦点 $F$ 的直线 $l$ 与拋物线交于 $A$ 、 $B$ 两点，若 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ，则 $| A B |$ 等于（）

A、4 B、 $\frac{9}{2}$ C、5 D、 $\frac{11}{2}$

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7. 已知函数 $f (x) = x^{2} + \frac{1}{4} ， g (x) = \sin x$ ，则图象为如图的函数可能是（）

A、 $y = f (x) + g (x) - \frac{1}{4}$ B、 $y = f (x) - g (x) - \frac{1}{4}$ C、 $y = f (x) g (x)$ D、 $y = \frac{g (x)}{f (x)}$

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8. 某学校社会实践小组共有5名成员，该小组计划前往三个红色教育基地进行“学党史，颂党恩，跟党走”的主题宣讲志愿服务.若每名成员只去一个基地，每个基地至少有一名成员前往，且甲，乙两名成员前往同一基地，丙，丁两名成员前往不同基地，则不同的分配方案总数（）

A、86种 B、64种 C、42种 D、30种

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9. 已知点 $P$ 为圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 上动点， $O$ 为坐标原点，则向量 $\vec{O P}$ 在向量 $\vec{a} = (2 ， 1)$ 方向上投影的最大值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5} + 1$ C、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5} - 1$ D、 $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$

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10. 已知 $x_{1} = \frac{π}{3}$ ， $x_{2} = \frac{5 π}{6}$ 是函数 $f (x) = s i n (ω x + φ)$ （ $ω > 0$ ， $0 < φ < \frac{π}{2}$ ）相邻的两个零点，若函数 $g (x) = | f (x) - \frac{1}{2} |$ 在 $[- \frac{π}{4} ， m]$ 上的最大值为1，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{3}]$ B、 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{2}]$ C、 $(- \frac{π}{4} ， \frac{5 π}{12}]$ D、 $(- \frac{π}{4} ， \frac{7 π}{12}]$

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11. 某圆柱的高为2，其正视图如图所示，圆柱上下底面圆周及侧面上的点A，B，D，F，C在正视图中分别对应点A，B，E，F，C，且 $A F = 4 E F ， C F = B C$ ，异面直线 $A B ， C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{3}{5}$ ，则该圆柱的外接球的表面积为（）

A、20π B、16π C、12π D、10π

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12. 关于 $x$ 的方程 $\frac{l n x}{x} + \frac{x}{l n x - x} + m = 0$ 有三个不等的实数解 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，且 $x_{1} < 1 < x_{2} < x_{3}$ ，则 $(\frac{l n x_{1}}{x_{1}} - 1)^{2} (\frac{l n x_{2}}{x_{2}} - 1) (\frac{l n x_{3}}{x_{3}} - 1)$ 的值为（）

A、 $e$ B、1 C、4 D、 $1 - m$

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二、填空题

13. 若 ${(x^{2} - \frac{1}{x \sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中第5项为常数项，则该常数项为（用数字表示）．

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14. 函数 $f (x) = 2 x f (\frac{π}{2}) - c o s x + 1$ 的图象在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为.

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15. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若双曲线的左支上存在一点P，使得 $P F_{2}$ 与双曲线的一条渐近线垂直于点H，且 $| P H | = 2 | H F_{2} |$ ，则此双曲线的离心率为.

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16. 设 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a = 2 ， 6 c o s B = b (1 - 3 c o s A)$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为.

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三、解答题

17. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列， $a_{1} + a_{2} = 4$ ，记数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \log_{3} a_{n + 1}$ ，且 $b_{n + 1} - b_{n} = 1$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、对任意的正整数 $n$ ，设 $c_{n} = {\begin{array}{l} \frac{(2 - 8 b_{n}) a_{n}}{b_{n} b_{n + 2}} ， n 为奇数 \\ a_{n} b_{n} ， n 为偶数 \end{array}$ ，求 ${c_{n}}$ 的前 $2 n$ 项的和 $S_{2 n}$ .

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18. 2022年第24届冬季奥林匹克运动会，简称“北京张家口冬奥会”，将在2022年02月04日~2022年02月20日在北京市和张家口市联合举行.这是中国历史上第一次举办冬季奥运会，北京将承办所有冰上项目，延庆和张家口将承办所有的雪上项目.下表是截取了2月5日和2月6日两天的赛程表：

2022年北京冬奥会赛程表（第七版，发布自2020年11月）

2022年2月

北京赛区

延庆赛区

张家口赛区

开闭幕式

冰壶

冰球

速度滑冰

短道速滑

花样滑冰

高山滑雪

有舵雪橇

钢架雪车

无舵雪橇

跳台滑雪

北欧两项

越野滑雪

单板滑雪

冬季两项

自由式滑雪

当日决赛数

5日

6日

说明：“*”代表当日有不是决赛的比赛；数字代表当日有相应数量的决赛.

(1)、（i）若在这两天每天随机观看一个比赛项目，求恰好看到冰球和跳台滑雪的概率；

（ii）若在这两天每天随机观看一场决赛，求两场决赛不在同一赛区的概率；

(2)、若在2月6日（星期日）的所有决赛中观看三场，记

X

为赛区的个数，求

X

的分布列及期望

E (X)

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19. 已知梯形 $A B C D$ 如图（1）所示，其中 $A B / / C D$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $∠ B C D = 45 °$ ， $C D = \sqrt{2} B C$ ，过点A作BC的平行线交线段CD于M，点N为线段BC的中点.现将 $△ D A M$ 沿AM进行翻折，使点D到达点P的位置，且平面 $P A M ⊥$ 平面 $A M C$ ，得到的图形如图（2）所示.

(1)、求证： $A P ⊥ P N$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ，若点H为线段PC的中点，求平面 $A H B$ 与平面 $P M N$ 所成锐二面角的余弦值.

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20. 已知函数 $f (x) = 2 a x + b x - 1 - 2 l n x (a \in R)$ ．
(Ⅰ)当 $b = 0$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调区间；

(Ⅱ)若对任意的 $a \in [1 ， 3]$ 和 $x \in (0 ， + \infty) ， f (x) \geq 2 b x - 3$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围．

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，它的短轴长等于双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的虚轴长

(1)、求椭圆C的方程

(2)、已知 $P (2 ， 3) ， Q (2 ， - 3)$ 是椭圆上的两点， $A ， B$ 是椭圆上位于直线 $P Q$ 两侧的动点
①若直线 $A B$ 的斜率为 $\frac{1}{2}$ ，求四边形 $A P B Q$ 面积的最大值
②当A，B运动时，满足 $∠ A P Q = ∠ B P Q$ ，试问直线 $A B$ 的斜率是否为定值？请说明理由．

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{matrix} x = 5 c o s α \\ y = 5 + 5 s i n α \end{matrix}$ （ $α$ 为参数）． $M$ 是曲线 $C_{1}$ 上的动点，将线段 $O M$ 绕 $O$ 点顺时针旋转 $90 °$ 得到线段 $O N$ ，设点 $N$ 的轨迹为曲线 $C_{2}$ ．以坐标原点 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)、求曲线 $C_{1}, C_{2}$ 的极坐标方程；

(2)、在（1）的条件下，若射线 $θ = \frac{π}{3} (ρ \geq 0)$ 与曲线 $C_{1}, C_{2}$ 分别交于 $A, B$ 两点（除极点外），且有定点 $T (4, 0)$ ，求 $△ T A B$ 的面积．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 4 | + | 1 - x | ， x \in R$

(1)、解不等式： $f (x) \leq 5$ ；

(2)、记 $f (x)$ 的最小值为 $m$ ，若 $a \geq 0 ， b \geq 0$ ，且 $a + b = m$ ，证明： $\frac{1}{a + 2} + \frac{1}{b + 1} \geq \frac{2}{3} .$

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活动时间 $x$	2	4	5	6	8
销售量 $y$	25	40	60	70	80