广东省揭阳市2022届高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x ∣ \frac{x - 4}{x + 2} < 0} ， B = {x ∣ 2^{x} < 4}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x ∣ - 2 < x < 4}$ B、 ${x ∣ x < 2}$ C、 ${x ∣ x < 4}$ D、 ${x ∣ - 2 < x < 2}$

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2. 复数 $z$ 满足 $z (1 + i) = 1 - i (i$ 为虚数单位 $)$ ，则 $z$ 的模为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\sqrt{2}$

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3. 袋中有大小和形状都相同的3个白球和2个黑球，现从袋中不放回地依次抽取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取到白球的概率是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{10}$

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4. 每年的毕业季都是高校毕业生求职和公司招聘最忙碌的时候，甲､乙两家公司今年分别提供了2个和3个不同的职位，一共收到了100份简历，具体数据如下：
公司
文史男
文史女
理工男
理工女
甲
10
10
20
10
乙
15
20
10
5
分析毕业生的选择意愿与性别的关联关系时，已知对应的 $K^{2}$ 的观测值 $k_{1} \approx 1.010$ ；分析毕业生的选择意愿与专业关联的 $K^{2}$ 的观测值 $k_{2} \approx 9.090$ ，则下列说法正确的是（）
$P (K^{2} ⩾ k_{0})$
0.4
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
$k_{0}$
0.708
3.841
5.024
$6.635$
7.879
10.828

A、有99.9%的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联 B、毕业生在选择甲､乙公司时，选择意愿与专业的关联比与性别的关联性更大一些 C、理科专业的学生更倾向于选择乙公司 D、女性毕业生更倾向于选择甲公司

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5. 已知函数 $f (x) = 3 s i n (2 x + \frac{π}{3})$ ，则该函数的增区间为（）

A、 $[- \frac{π}{2} + 2 k π ， \frac{π}{2} + 2 k π] (k \in Z)$ B、 $[- \frac{5 π}{6} + 2 k π ， \frac{π}{6} + 2 k π] (k \in Z)$ C、 $[- \frac{5 π}{12} + k π ， \frac{π}{12} + k π] (k \in Z)$ D、 $[\frac{π}{12} + k π ， \frac{7 π}{12} + k π] (k \in Z)$

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6. 已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球 $O$ ，则圆柱的表面积与球 $O$ 的表面积之比为（）

A、3：4 B、1：2 C、 $3 \sqrt{2} ： 8$ D、不能确定

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7. 已知过抛物线 $C ： y^{2} = 36 x$ 的焦点 $F$ 的直线交 $C$ 于 $A ， B$ 两点（点 $A$ 在点 $B$ 的右边）， $O$ 为原点.若 $△ O A B$ 的重心的横坐标为10，则 $| A B |$ 的值为（）

A、144 B、72 C、60 D、48

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8. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{x} (x > 0)$ ，过点 $P (a ， b)$ 可作两条直线与函数 $y = f (x)$ 相切，则下列结论正确的是（）

A、 $a b < 0$ B、 $0 < a b < 1$ C、 $a^{2} + b^{2}$ 的最大值为2 D、 $e^{a} > b$

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二、多选题

9. 已知二项式 ${(x + \frac{1}{x})}^{n} = a_{0} x^{n} + a_{1} x^{n - 2} + a_{2} x^{n - 4} + ⋯ + a_{n} x^{- n}$ 的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（）

A、展开式中的常数项为1 B、 $n = 6$ C、展开式中二项式系数最大的项是第四项 D、展开式中 $x$ 的指数均为偶数

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10. 已知函数 $f (x) = x^{3} + x$ ，实数 $m ， n$ 满足不等式 $f (2 m - 3 n) + f (n - 2) > 0$ ，则（）

A、 $e^{m} > e^{n}$ B、 $\frac{n}{m} > \frac{n + 1}{m + 1}$ C、 $l n (m - n) > 0$ D、 $m^{2021} < n^{2021}$

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11. 已知向量 $\vec{m} = (c o s α ， s i n α) ， \vec{n} = (c o s β ， s i n β) (α ， β \in [0 ， 2 π) ， α > β)$ ，且 $\vec{m} + \vec{n} = (0 ， 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、 ${\vec{m}}^{2} + {\vec{n}}^{2} = 1$ B、 $c o s (α - β) = - \frac{1}{2}$ C、 $s i n (α + β) = 0$ D、 $| \vec{m} - \vec{n} |$ 的最大值为2

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12. 如图所示，已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $2 ， M ， N$ 分别是 $A D ， C C_{1}$ 的中点， $P$ 是线段 $A B$ 上的动点，则下列说法正确的是（）

A、平面 $P M N$ 截正方体所得的截面可以是四边形､五边形或六边形 B、当点 $P$ 与 $A ， B$ 两点不重合时，平面 $P M N$ 截正方体所得的截面是五边形 C、 $△ M P N$ 是锐角三角形 D、 $△ M P N$ 面积的最大值是 $\frac{\sqrt{21}}{2}$

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三、填空题

13. 已知函数 $f (x) = e^{x} \cdot s i n x$ ，该函数在 $x = 0$ 处的切线方程为.

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14. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} ， a_{2021}$ 分别是方程 $x^{2} - 16 x + 3 = 0$ 的两个根，则 $a_{1011} =$ .

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15. 如图所示，已知 $P (x_{0} ， y_{0})$ 是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 右支上任意一点，双曲线 $C$ 在点 $P$ 处的切线分别与两条渐近线 $y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2} x$ 交于 $A ， B$ 两点，则 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} =$ .

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16. 如图所示，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 2 ， O$ 为 $B C$ 的中点， $E$ ， $F$ 分别为线段 $A B ， A C$ 上的动点，且 $∠ E O F = 12 0^{∘}$ .

(1)、当 $O E ⊥ A B$ 时，则 $E F^{2}$ 的值为.

(2)、 $\frac{1}{O E^{2}} + \frac{1}{O F^{2}}$ 的最大值为.

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四、解答题

17. 在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 18 ， a_{3} - a_{1} = 48$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、 $b_{n} = l o g_{3} \frac{a_{n}}{2}$ ，求数列 ${\frac{1}{b_{n} b_{n + 2}}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对的边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $\sqrt{3} a c o s B + b s i n A = \sqrt{3} c$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $a = \sqrt{3}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且 $b > c$ ，求 $b$ 和 $c$ 的值.

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为梯形， $D C = 3 A B = 3 ， A D = 2 \sqrt{3} ， A B$ $∥$ $C D ， C D ⊥ A D$ ，平面 $P C D ⊥$ 平面 $A B C D ， E$ 为棱 $P C$ 上的点，且 $E C = 2 P E$ .

(1)、求证： $B E$ $∥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P D = 3$ ，二面角 $P - A D - C$ 为 $6 0^{∘}$ ，求直线 $B E$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正弦值.

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20. 在高考结束后，省考试院会根据所有考生的成绩划分出特控线和本科线.考生们可以将自己的成绩与划线的对比作为高考志愿填报的决策依据.每一个学科的评价都有一个标准进行判断.以数学学科为例，在一次考试中，将考生的成绩由高到低排列，分为一､二､三档，前22%定为一档，前58%到前22%定为二档，后42%定为三档.在一次全市的模拟考试中，考生数学成绩的频率分布直方图如图所示，根据直方图的信息可知第三档的分数段为 $[0 ， 70)$ .

(1)、求成绩位于 $[30 ， 60)$ 时所对应的频率，并估计第二档和第一档的分数段；

(2)、在历年的统计中发现，数学成绩为一档的考生其总分过特控线的概率为0.8，数学成绩为二档的考生其总分过特控线的概率为0.5，数学成绩为三档的考生其总分过特控线的概率为0.1.在此次模拟考试中，甲､乙､丙三位考生的数学成绩分别为 $65 ， 94 ， 122$ .请结合第（1）问中的分数段，求这三位考生总分上特控线的人数 $X$ 的分布列及数学期望.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0) ， F_{1} ， F_{2}$ 为椭圆的左､右焦点，焦距为 $2 \sqrt{3}$ ，点 $P$ 在 $C$ 上，且 $△ P F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、过点 $M (\frac{6}{5} ， 0)$ 作直线 $l$ 交椭圆于 $A ， B$ 两点，以 $A B$ 为直径的圆是否恒过 $x$ 轴上的定点 $Q (m ， 0)$ ？若存在该定点，请求出 $m$ 的值；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{x} - a x - a l n x + a .$

(1)、若 $a = e$ ，判断函数 $f (x)$ 的单调性，并求出函数 $f (x)$ 的最值.

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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公司	文史男	文史女	理工男	理工女
甲	10	10	20	10
乙	15	20	10	5

$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	0.4	0.05	0.025	0.01	0.005	0.001
$k_{0}$	0.708	3.841	5.024	$6.635$	7.879	10.828