广东省东莞市2022届高三上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | 0 \leq x \leq 4}$ ， $B = {x | x^{2} - 2 x - 3 \leq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | 0 \leq x \leq 3}$ B、 ${x | - 1 \leq x \leq 4}$ C、 ${x | - 1 \leq x \leq 3}$ D、 ${x | 0 \leq x \leq 1}$

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2. $(x + 1)^{2} + (x + 1)^{3} + (x + 1)^{4}$ 的展开式中 $x^{2}$ 项的系数是（）

A、9 B、10 C、11 D、12

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3. 已知函数 $f (x) = s i n x$ ， $g (x) = e^{x} + e^{- x}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) g (x)$ 是偶函数 B、 $| f (x) | g (x)$ 是奇函数 C、 $f (x) | g (x) |$ 是奇函数 D、 $| f (x) g (x) |$ 是奇函数

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4. 若 $α \in (0 ， \frac{π}{2})$ ， $2 t a n α = \frac{1}{c o s^{2} α}$ ，则 $t a n α =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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5. 甲乙两人在数独APP上进行“对战赛”，每局两人同时解一道题，先解出题的人赢得一局，假设无平局，且每局甲乙两人赢的概率相同，先赢3局者获胜，则甲获胜且比赛恰进行了4局的概率是（）

A、 $\frac{3}{10}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{1}{16}$ D、 $\frac{3}{16}$

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6. “中国天眼”（如图1）是世界最大单口径、最灵敏的射电望远镜，其形状可近似地看成一个球冠（球冠是球面被平面所截的一部分，如图2所示，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的线段叫做球冠的高．若球面的半径是 $R$ ，球冠的高度是 $h$ ，则球冠的面积 $S = 2 π R h$ ）．已知天眼的球冠的底的半径约为250米，天眼的反射面总面积（球冠面积）约为25万平方米，则天眼的球冠高度约为（）（参考数值 $\sqrt{\frac{4}{π} - 1} \approx 0.52$ ）

A、52米 B、104米 C、130米 D、156米

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7. 已知直线 $l$ 过抛物线 $C$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，且与该抛物线交于 $M ， N$ 两点.若线段 $M N$ 的长为16， $M N$ 的中点到 $y$ 轴距离为6，则 $△ M O N$ （ $O$ 为坐标原点）的面积是（）

A、 $8 \sqrt{3}$ B、 $8 \sqrt{2}$ C、 $6 \sqrt{2}$ D、6

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8. 已知 $O$ 为坐标原点，点 $P$ 为函数 $y = c o s x$ 图象上一动点，当点 $P$ 的横坐标分别为 $\frac{π}{12} ， \frac{π}{8} ， \frac{π}{6}$ 时，对应的点分别为 $P_{1} ， P_{2} ， P_{3}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $| O P_{1} | > | O P_{2} | > | O P_{3} |$ B、 $| O P_{1} | > | O P_{3} | > | O P_{2} |$ C、 $| O P_{2} | > | O P_{3} | > | O P_{1} |$ D、 $| O P_{3} | > | O P_{2} | > | O P_{1} |$

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二、多选题

9. 已知复数 $z_{1} ， z_{2} ， z_{3}$ ， ${\bar{z}}_{1}$ 是 $z_{1}$ 的共轭复数，则下列结论正确的是（）

A、若 $z_{1} + z_{2} = 0$ ，则 $| z_{1} | = | z_{2} |$ B、若 $z_{2} = z_{1}$ ，则 $| z_{1} | = | z_{2} |$ C、若 $z_{3} = z_{1} z_{2}$ ，则 $| z_{3} | = | z_{1} | | z_{2} |$ D、若 $| z_{1} + 1 | = | z_{2} + 1 |$ ，则 $| z_{1} | = | z_{2} |$

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10. 已知函数 $f (x) = a s i n x + b c o s x$ ，若 $f (0) = \sqrt{3}$ 且对任意 $x \in R$ 都有 $f (x) \leq f (\frac{π}{3})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x) = 2 \sqrt{3} c o s (x + \frac{π}{3})$ B、 $f (x) = 2 \sqrt{3} s i n (x + \frac{π}{6})$ C、 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位后，图象关于原点对称 D、 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{2 π}{3}$ 个单位后，图象关于 $y$ 轴对称

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11. 气象意义上从春季进入夏季的标志为“当且仅当连续5天每天日平均温度不低于 $2 2^{∘} C$ ”．现有甲、乙、丙三地连续 $5$ 天日平均温度的记录数据（数据均为正整数，单位 $C$ ）且满足以下条件：
甲地：5个数据的中位数是24，众数是22；
乙地：5个数据的中位数是27，平均数是24；
丙地：5个数据有1个是30，平均数是24，方差是9.6；
根据以上数据，下列统计结论正确的是（）

A、甲地进入了夏季 B、乙地进入了夏季 C、不能确定丙地进入了夏季 D、恰有2地确定进入了夏季

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 9 x^{2} - 12 x + 4 ， x \leq 1 \\ \frac{1}{4} f (x - 1) ， x > 1 \end{array}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (n) = 4^{1 - n} ， n \in N^{*}$ B、 $\exists x \in (0 ， + ∞) ， f (x) > \frac{1}{x}$ C、关于 $x$ 的方程 $f (x) = 4^{1 - n} (n \in N^{*})$ 的所有根之和为 $n^{2} + \frac{n}{3}$ D、关于 $x$ 的方程 $f (x) = 4^{1 - n} (n \in N^{*})$ 的所有根之积小于 ${(n!)}^{2}$

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三、填空题

13. 已知 $F$ 为双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的一个焦点，则点 $F$ 到双曲线 $C$ 的一条渐近线的距离为.

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14. 已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的体积为.

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15. 桌面上有一张边长为2的正三角形的卡纸，设三个顶点分别为 $A$ ， $B$ ， $C$ ，将卡纸绕顶点 $C$ 顺时针旋转 $\frac{5 π}{6}$ ，得到 $A$ 、 $B$ 的旋转点分别为 $A_{1}$ 、 $B_{1}$ ，则 ${\vec{A A}}_{1} \cdot {\vec{B B}}_{1} =$ .

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16. 龙曲线是由一条单位线段开始，按下面的规则画成的图形：将前一代的每一条折线段都作为这一代的等腰直角三角形的斜边，依次画出所有直角三角形的两段，使得所画的相邻两线段永远垂直（即所画的直角三角形在前一代曲线的左右两边交替出现）.例如第一代龙曲线（图3）是以 $A_{1} A_{2}$ 为斜边画出等腰直角三角形的直角边 $A_{1} A_{3}$ ， $A_{3} A_{2}$ 所得的折线图，图4、图5依次为第二代、第三代龙曲线（虚线即为前一代龙曲线）. $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ 为第一代龙曲线的顶点，设第 $n$ 代龙曲线的顶点数为 $a_{n}$ ，由图可知 $a_{1} = 3$ ， $a_{2} = 5$ ， $a_{3} = 9$ ，则 $a_{4} =$ ；数列 ${\frac{2^{n}}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} =$ .

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四、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，已知 $a^{2} = b c o s C + c c o s B$ .

(1)、求 $a$ ；

(2)、若 $A = \frac{π}{3}$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{5} = 17$ ， $S_{4} = 2 a_{2} + 22$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在任意相邻两项 $a_{k}$ 和 $a_{k + 1} (k = 1 ， 2 ， 3 ， ⋯)$ 之间插入 $2^{k}$ 个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列 ${b_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前200项的和 $T_{200}$ .

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19. 如图，在正四棱锥 $S - A B C D$ 中，点 $O$ ， $E$ 分别是 $B D$ ， $B C$ 中点，点 $F$ 是 $S E$ 上的一点.

(1)、证明： $O F ⊥ B C$ ；

(2)、若四棱锥 $S - A B C D$ 的所有棱长为 $2 \sqrt{2}$ ，求直线 $O F$ 与平面 $S D E$ 所成角的正弦值的最大值.

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20. 已知某次比赛的乒乓球团体赛采用五场三胜制，第一场为双打，后面的四场为单打.团体赛在比赛之前抽签确定主客队.主队三名选手的一单、二单、三单分别为选手 $A$ 、 $B$ 、 $C$ ，客队三名选手的一单、二单、三单分别为选手 $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ .比赛规则如下：第一场为双打（ $Y Z$ 对阵 $B C$ ）、第二场为单打（ $X$ 对阵 $A$ ）、第三场为单打（ $Z$ 对阵 $C$ ）、第四场为单打（ $Y$ 对阵 $A$ ）、第五场为单打（ $X$ 对阵 $B$ ）.已知双打比赛中 $Y Z$ 获胜的概率是 $\frac{1}{4}$ ，单打比赛中 $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ 分别对阵 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 时， $X$ 、 $Y$ 、 $Z$ 获胜的概率如下表：
选手
选手
$A$
$B$
$C$
$X$
$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
$Y$
$\frac{1}{3}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{2}{3}$
$Z$
$\frac{1}{4}$
$\frac{2}{3}$
$\frac{1}{2}$

(1)、求主、客队分出胜负时恰进行了3场比赛的概率；

(2)、客队输掉双打比赛后，能否通过临时调整选手 $Y$ 为三单、选手 $Z$ 为二单使得客队团体赛获胜的概率增大？请说明理由.

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21. 已知点 $A$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左顶点，点 $F (1 ， 0)$ 为右焦点，直线 $l ： x = 4$ 与 $x$ 轴的交点为 $N$ ，且 $| A F | = | F N |$ ，点 $M$ 为椭圆上异于点 $A$ 的任意一点，直线 $A M$ 交 $l$ 于点 $P$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、证明： $∠ M F N = 2 ∠ P F N$ .

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22. 已知 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = l o g_{a} x + \frac{1}{2} a x^{2}$ .

(1)、若 $a = e$ ，求函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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选手选手	$A$	$B$	$C$
$X$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$
$Y$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2}{3}$
$Z$	$\frac{1}{4}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{2}$