北京西城区2022届高三数学期末试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 3 < x \leq 2}$ ， $B = {x | - 2 < x \leq 3}$ ，则 $A ∪ B =$ （）

A、 $(- 3 ， 3]$ B、 $(- 3 ， 3)$ C、 $(- 3 ， 2]$ D、 $(- 2 ， 2]$

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2. 在复平面内，复数 $(1 + 2 i) i$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 在 $△ A B C$ 中，若 $a = 2$ ， $b = 3$ ， $c o s (A + B) = \frac{1}{3}$ ，则 $c =$ （）

A、 $\sqrt{17}$ B、4 C、 $\sqrt{15}$ D、3

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4. 若双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的一条渐近线方程为 $y = \frac{\sqrt{5}}{2} x$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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5. 如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，点E，F分别是棱 $A_{1} C_{1}$ ， BC的中点，则下列结论中不正确的是（）

A、 $C C_{1} ∥$ 平面 $A_{1} A B B_{1}$ B、 $A F ∥$ 平面 $A_{1} B_{1} C_{1}$ C、 $E F ∥$ 平面 $A_{1} A B B_{1}$ D、 $A E ∥$ 平面 $B_{1} B C C_{1}$

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6. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{1}{x} ， x < 0 ， \\ 2^{x} - a ， x \geq 0 \end{array}$ 的值域为R，则实数a的取值范围是（）

A、 $a < 0$ B、 $a > 0$ C、 $a \leq 1$ D、 $a \geq 1$

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7. 已知 ${a_{n}}$ 为等比数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，若 $S_{2} = 3 a_{1}$ ， $a_{2}^{2} = a_{3}$ ，则 $S_{4} =$ （）

A、7 B、8 C、15 D、31

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8. 已知函数 $f (x)$ 的图象在区间 $[0 ， 2]$ 上连续不断，则“ $f (0) + f (1) + f (2) = 0$ ”是“ $f (x)$ 在 $[0 ， 2]$ 上存在零点”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 按照“碳达峰”､“碳中和”的实现路径，2030年为碳达峰时期，2060年实现碳中和，到2060年，纯电动汽车在整体汽车中的渗透率有望超过70%，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口.Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位： $A h$ ），放电时间t（单位： $h$ ）与放电电流I（单位： $A$ ）之间关系的经验公式： $C = I^{n} \cdot t$ ，其中n为Peukert常数，为了测算某蓄电池的Peukert常数n，在电池容量不变的条件下，当放电电流 $I = 20 A$ 时，放电时间 $t = 20 h$ ；当放电电流 $I = 30 A$ 时，放电时间 $t = 10 h$ .则该蓄电池的Peukert常数n大约为（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.30$ ， $l g 3 \approx 0.48$ ）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{5}{3}$ C、 $\frac{8}{3}$ D、2

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10. 设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为 $X_{A} = M - m$ ，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， …， $A_{n}$ 是集合 $N^{*}$ 的元素个数均不相同的非空真子集，且 $X_{A_{1}} + X_{A_{2}} + X_{A_{3}} + \cdot \cdot \cdot + X_{A_{n}} = 120$ ，则n的最大值为（）

A、14 B、15 C、16 D、18

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二、填空题

11. 二项式 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项为．（用数字作答）

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12. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} c o s (x + θ) ， x \geq 0 ， \\ s i n x ， x < 0 \end{array}$ 是偶函数，则 $θ$ 的一个取值为.

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13. 在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，过点A的平面 $α$ 分别与棱 $B B_{1}$ ， $C C_{1}$ ， $D D_{1}$ 交于点E，F，G，记四边形AEFG在平面 $B C C_{1} B_{1}$ 上的正投影的面积为 $S_{1}$ ，四边形AEFG在平面 $A B B_{1} A_{1}$ 上的正投影的面积为 $S_{2}$ .
给出下面四个结论：
①四边形AEFG是平行四边形；
② $S_{1} + S_{2}$ 的最大值为2；
③ $S_{1} S_{2}$ 的最大值为 $\frac{1}{4}$ ；
④四边形AEFG可以是菱形，且菱形面积的最大值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .
则其中所有正确结论的序号是.

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14. 已知点 $A (2 ， 4)$ 在抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x$ 上，F为抛物线C的焦点，O为坐标原点.则抛物线C的方程为； $△ A O F$ 的面积为.

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15. 在长方形ABCD中， $| \vec{A B} | = 1$ ， $\vec{B E} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ，且 $\vec{A B} · \vec{A E} = \vec{A D} · \vec{A E}$ ，则 $| \vec{A D} | =$ ， $\vec{A E} \cdot \vec{A C} =$ .

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三、解答题

16. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为矩形， $P D ⊥$ 平面ABCD， $P D = A D = 2$ ， $A B = 4$ ，点E在线段AB上，且 $A E = \frac{3}{4} A B$ .

(1)、求证： $C E ⊥$ 平面PBD；

(2)、求二面角 $P - C E - A$ 的余弦值.

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17. 已知函数 $f (x) = A s i n (ω x + φ) (A > 0 ， ω > 0 ， 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，在条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知.
条件①： $c - a = \frac{π}{2}$ ；条件②： $b = \frac{π}{3}$ ；条件③： $c = \frac{7 π}{12}$ .
注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式：

(2)、设函数 $g (x) = f (x) \cdot c o s (2 x + \frac{π}{3})$ ，若 $g (x)$ 在区间 $[0 ， m]$ 上单调递减，求 $m$ 的最大值.

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18. 2021年7月11日18时，中央气象台发布暴雨橙色预警，这是中央气象台2021年首次发布暴雨橙色预警.中央气象台预计，7月11日至13日，华北地区将出现2021年以来的最强降雨.下表是中央气象台7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域.

北京密云	山东乐陵	河北迁西	山东庆云	北京怀柔	河北海兴	河北唐山	天津渤海A平台	河北丰南	山东长清
180毫米	175毫米	144毫米	144毫米	143毫米	140毫米	130毫米	127毫米	126毫米	126毫米

(1)、从这10个区域中随机选出1个区域，求这个区域的降雨量超过135毫米的概率；

(2)、从这10个区域中随机选出3个区域，设随机变量X表示选出的区域为北京区域的数量，求X的分布列和期望：

(3)、在7月13日2：00统计的24小时全国降雨量排在前十的区域中，设降雨量超过140毫米的区域降雨量的方差为

s_{1}^{2}

，降雨量在140毫米或140毫米以下的区域降雨量的方差为

s_{2}^{2}

，全部十个区域降雨量的方差为

s_{3}^{2}

.试判断

s_{1}^{2}

，

s_{2}^{2}

，

s_{3}^{2}

的大小关系.（结论不要求证明）

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19. 已知函数 $f (x) = e^{x} (x^{2} + a x + 1)$ .

(1)、若 $a = 0$ ，求 $f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 在 $(- 1 ， 1)$ 上恰有一个极小值点，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若对于任意 $x \in (0 ， \frac{π}{2}]$ ， $f (x) > e^{x} (x^{2} c o s x + 1)$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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20. 已知椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的焦点为 $F (2 ， 0)$ ，长轴长与短轴长的比值为 $\sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆M的方程：

(2)、过点F的直线l与椭圆M交于A，B两点， $B C ⊥ x$ 轴于点C， $A D ⊥ x$ 轴于点D，直线BD交直线 $x = 4$ 于点E，求 $△ E C D$ 与 $△ E A B$ 的面积之比.

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21. 已知数列 $A ： a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{N} (N \geq 4)$ ，其中 $a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{N} \in Z$ ，且 $a_{1} < a_{2} < \cdot \cdot \cdot < a_{N}$ .若数列 $A ： a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{N}$ 满足 $a_{1} = a_{1}$ ， $a_{N} = a_{N}$ ，当 $i = 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， N - 1$ 时， $\tilde{a_{i}} = a_{i - 1} + 1$ 或 $a_{i + 1} - 1$ ，则称 $A ： a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{N}$ 为数列A的“紧数列”.例如，数列A：2，4，6，8的所有“紧数列”为2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8.

(1)、直接写出数列A：1，3，6，7，8的所有“紧数列” $A$ ；

(2)、已知数列A满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{N} = 2 N$ ，若数列A的所有“紧数列” $A$ 均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为 $N + 1$ ；

(3)、已知数列A满足： $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = 2$ ，对于数列A的一个“紧数列” $A$ ，定义集合 $S (A) = {a_{i} - \tilde{a_{i}} | i = 2 ， 3 ， \cdot \cdot \cdot ， N - 1}$ ，如果对任意 $x \in S (A)$ ，都有 $- x \notin S (A)$ ，那么称 $A$ 为数列A的“强紧数列”.若数列A存在“强紧数列”，求 $a_{N}$ 的最小值.（用关于N的代数式表示）

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