北京市朝阳区2022届高三上学期数学期末统一检测试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. ${(1 + i)}^{2} =$ （）

A、-2 B、2 C、 $- 2 i$ D、 $2 i$

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $y = \pm \frac{3}{4} x$ B、 $y = \pm \frac{4}{3} x$ C、 $y = \pm \frac{3}{5} x$ D、 $y = \pm \frac{9}{16} x$

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3. 在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{3}{10}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{3}{4}$

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4. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上一点M与焦点F的距离为4，则点M到x轴的距离是（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、12

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5. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} {(\frac{1}{2})}^{x} ， x \leq 1 \\ l o g_{2} x ， x > 1 \end{array}$ ，若 $f (x) \leq 2$ ，则实数 $x$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1 ， + ∞)$ B、 $(0 ， 4]$ C、 $[- 1 ， 4]$ D、 $(- ∞ ， 4]$

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6. 在直角坐标平面 $x O y$ 内， $O$ 为坐标原点，已知点 $A (- \frac{1}{2} ， - \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，将向量 $\vec{O A}$ 绕原点按逆时针方向旋转 $\frac{π}{2}$ 得到 $\vec{O A}$ ，则 $\vec{O A}$ 的坐标为（）

A、 $(- \frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{1}{2})$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{2} ， - \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{2} ， - \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、 $(- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2})$

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7. 某纯净水制造厂在净化水的过程中，每增加一次过滤可使水中杂质减少50%．若杂质减少到原来的10%以下，则至少需要过滤（）（参考数据： $l g 2 \approx 0.3010$ ）

A、2次 B、3次 C、4次 D、5次

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8. 若函数 $f (x) = a s i n x + b c o s x$ 的最大值为2，则下列结论不一定成立的是（）

A、 $a^{2} + b^{2} = 4$ B、 $a b \leq 2$ C、 ${(a + b)}^{2} \leq 8$ D、 ${(a - b)}^{2} \leq 4$

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9. 已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角为120°，记 $\vec{m} = t \vec{a} + (1 - t) \vec{b} (t \in R)$ ， $| \vec{m} |$ 的取值范围为（）

A、 $[\sqrt{3} ， + \infty)$ B、 $[\sqrt{2} ， + \infty)$ C、 $[1 ， + \infty)$ D、 $[\frac{1}{2} ， + \infty)$

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10. 如图，将半径为1的球与棱长为1的正方体组合在一起，使正方体的一个顶点正好是球的球心，则这个组合体的体积为（）

A、 $\frac{7}{6} π + 1$ B、 $\frac{7}{6} π + \frac{5}{6}$ C、 $\frac{7}{8} π + 1$ D、 $π + 1$

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二、填空题

11. 在 ${(x + \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中， $x$ 的系数为．

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12. 已知圆 $C$ ： $x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ ，直线 $l$ ： $y = x + \sqrt{2}$ ，则使“圆C上至少有3个点到直线l的距离都是1”成立的一个充分条件是“ $r =$ ”．

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13. 已知函数 $f (x) = s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，设 $g (x) = | f (x) |$ ，给出以下四个结论：
①函数 $g (x)$ 的最小正周期是 $\frac{π}{3}$ ；
②函数 $g (x)$ 在区间 $(\frac{7 π}{18} ， \frac{5 π}{9})$ 上单调递增；
③函数 $g (x)$ 的图象过点 $(0 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ；
④直线 $x = \frac{13 π}{18}$ 为函数 $g (x)$ 的图象的一条对称轴．
其中所有正确结论的序号是．

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14. 如图，正方形ABCD的边长为2，取正方形ABCD各边的中点E，F，C，H，作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各边的中点I，J，K，L，作第3个正方形IJKL，依此方法一直继续下去．则第4个正方形的面积是；从正方形ABCD开始，连续8个正方形面积之和是．

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15. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为正方形， $P A ⊥$ 底面ABCD， $P A = A B = 2$ ， E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点，平面AEF与平面PBC（填“垂直”或“不垂直”）； $△ A E F$ 的面积的最大值为．

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三、解答题

16. 记 $△ A B C$ 的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知 $a = 2 t - 1$ ， $b = 4 t$ ， $c = 4 t + 1 (t > 1)$ ．

(1)、当 $t = 3$ 时．求 $c o s B$ ；

(2)、是否存在正整数 $t$ ，使得角C为钝角？如果存在，求出 $t$ 的值，并求此时 $△ A B C$ 的面积；如果不存在．说明理由．

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17. “双践”政策实施以来，各地纷纷推行课后服务“5+2"模式，即学校每周周一至周五5天都要面向所有学生提供课后服务，每天至少2小时．某学校的课后服务有学业辅导体育锻炼、实践能力创新培养三大类别，为了解该校学生上个月参加课后服务的情况，该校从全校学生中随机抽取了100人作为样本．发现样本中未参加任何课后服务的有14人，样本中仅参加某一类课后服务的学生分布情况如下：
每周参加活动天数
课后服务活动
1天
2~4天
5天
仅参加学业辅导
10人
11人
4人
仅参加体育锻炼
5人
12人
1人
仅参加实践能力创新培养
3人
12人
1人

(1)、从全校学生中随机抽取1人．估计该学生上个月至少参加了两类课后服务活动的概率；

(2)、从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数．求X的分布列和数学期望；

(3)、老样本中上个月未参加任何课后服务的学生有 $n (0 < n \leq 14)$ 人在本月选择仅参加学业辅导．样本中其他学生参加课后服务的情况在本月没有变化．从全校学生中随机抽取3人．以频率估计概率，以X表示这3人中上个月仅参加学业辅导的人数，以Y表示这3人中本月仅参加学业辅导的人数．试判断方差 $D (X)$ 、 $D (Y)$ 的大小关系（结论不要求证明）．

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18. 刍甍（chú méng）是中国古代数学书中提到的一种几何体，《九章算术》中对其有记载：“下有袤有广，而上有袤无广”，可翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．”，如图，在刍甍 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B C D$ 是正方形，平面 $B A E$ 和平面 $C D E$ 交于EF．

(1)、求证： $C D ∥$ 平面 $B A E$ ；

(2)、若 $A B = 4$ ， $E F = 2$ ， $E D = F C$ ， $A F = 3 \sqrt{3}$ ，再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使几何体 $A B C D E F$ 存在且唯一，并求平面 $A D E$ 和平面 $B A E$ 的夹角的余弦值．
条件①： $B F ⊥ F C$ ， $A F ⊥ F C$ ；
条件②：平面 $C D E ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A F ⊥ F C$ ；
条件③：平面 $C B F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $B F ⊥ F C$ ．

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19. 已知曲线 $W$ ： $\frac{x^{2}}{3 - m} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ （ $m \in R$ ， $m \neq 0$ ，且 $m \neq 3$ ）．

(1)、若曲线 $W$ 是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；

(2)、当 $m = 1$ 时，过点 $E (1 ， 0)$ 作斜率为 $k (k \neq 0)$ 的直线l交曲线 $W$ 于点A，B（A，B异于顶点），交直线 $x = 2$ 于P．过点P作y轴的垂线，垂足为Q，直线AQ交x轴于C，直线BQ交x轴于D，求线段CD中点M的坐标．

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20. 已知函数 $f (x) = 2 l n x - x - l n a$ ， $a > 0$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1 ， f (1))$ 处切线的斜率；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极大值；

(3)、设 $g (x) = a e^{x} - x^{2}$ ，当 $a \in (1 ， e)$ 时，求函数 $g (x)$ 的零点个数．并说明理由．

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21. 对任意正整数 $n$ ，记集合 $A_{n} = {(a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{n}) | a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{n}$ 均为非负整数．且 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} = n}$ ，集合 $B_{n} = {(b_{1} ， b_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， b_{n}) | b_{1} ， b_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， b_{n}$ 均为非负整数，且 $b_{1} + b_{2} + \cdot \cdot \cdot + b_{n} = 2 n}$ ．设 $α = (a_{1} ， a_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{n}) \in A_{n}$ ， $β = (b_{1} ， b_{2} ， \cdot \cdot \cdot ， b_{n}) \in B_{n}$ ，若对任意 $i \in {1 ， 2 ， \cdot \cdot \cdot ， n}$ 都有 $a_{i} \leq b_{i}$ ．则记 $α < β$ ．

(1)、写出集合 $A_{2}$ 和 $B_{2}$ ；

(2)、证明：对任意 $α \in A_{n}$ ，存在 $β \in B_{n}$ ，使得 $α < β$ ；

(3)、设集合 $S_{n} = {(α ， β) | α \in A_{n} ， β \in B_{n} ， α < β}$ ．求证： $S_{n}$ 中的元素个数是完全平方数．

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每周参加活动天数课后服务活动	1天	2~4天	5天
仅参加学业辅导	10人	11人	4人
仅参加体育锻炼	5人	12人	1人
仅参加实践能力创新培养	3人	12人	1人