天津市和平区2021-2022 学年高二上学期数学期末质量调查试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1 ， a_{n} = 1 + \frac{1}{a_{n - 1}} (n ⩾ 2$ 且 $n \in N^{*})$ ，则这个数列的第5项是（）

A、2 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $\frac{8}{5}$

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2. 已知直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ ，直线 $l_{1}$ 经过点 $A (3 ， 2)$ 和 $B (a ， - 1)$ ，且直线 $l$ 与 $l_{1}$ 垂直， $a$ 的值为（）

A、1 B、6 C、0或6 D、0

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3. 圆心在 $x$ 轴上，半径为2，且过点 $(1 ， 2)$ 的圆的方程为（）

A、 $x^{2} + y^{2} = 4$ B、 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 4$ C、 $(x - 2)^{2} + y^{2} = 4$ D、 $(x - 3)^{2} + y^{2} = 4$

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4. 如图，空间四边形OABC中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，点M在 $\vec{O A}$ 上，且 $O M = 2 M A$ ，点N为BC中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$

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5. 在等比数列 ${b_{n}}$ 中， $Τ_{n}$ 表示前 $n$ 项和，若 $b_{3} = 2 Τ_{2} + 1$ ， $b_{4} = 2 Τ_{3} + 1$ ，则公比 $q$ 等于（）

A、-3 B、-1 C、1 D、3

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6. 抛物线 $x^{2} = \frac{1}{4} y$ 上的一点 $M$ 到焦点的距离为1，则点 $M$ 到 $x$ 轴的距离是（）

A、 $\frac{17}{16}$ B、 $\frac{15}{16}$ C、1 D、 $\frac{7}{8}$

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7. 双曲线 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 的两个焦点分别是 $F_{1} ， F_{2}$ ，点 $P$ 是双曲线上一点且满足 $∠ F_{1} P F_{2} = 6 0^{∘}$ ，则 $△ F_{1} P F_{2}$ 的面积为（）

A、 $25 \sqrt{3}$ B、 $16 \sqrt{3}$ C、 $9 \sqrt{3}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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8. 如图所示，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E ， F$ 分别在 $A_{1} D ， A C$ 上， $A_{1} E = \frac{2}{3} A_{1} D$ ， $A F = \frac{1}{3} A C$ ，则 $E F$ 与 $C_{1} D_{1}$ 所成角的余弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{9}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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9. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，下顶点为 $A$ ，直线 $A F_{2}$ 与椭圆 $C$ 的另一个交点为 $B$ ，若 $△ B F_{1} A$ 为等腰三角形，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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二、填空题

10. 双曲线 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ 的渐近线方程是.

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11. 已知圆 $C ： (x - 3)^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 和圆 $D ： x^{2} + y^{2} - 8 y + 7 = 0$ 外切，则 $r =$

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12. 在空间直角坐标系中， $A (1, 1, 1)$ 、 $B (2, 3, 4)$ ，平面 $B C D$ 的一个法向量是 $(- 1, 2, 1)$ ，则点 $A$ 到平面 $B C D$ 的距离为．

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13. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{5} = 2$ ， $a_{11} = 11$ ，则 $a_{8}^{2} - a_{2}^{2} =$ .

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14. 抛物线 $y^{2} = 8 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $A (5 ， 4)$ ， $P$ 为抛物线上一点，且 $P$ 不在直线 $A F$ 上，则 $Δ P A F$ 周长的最小值为．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} ， n \in N^{*}$ ，则 $a_{1} - a_{2} + a_{3} - a_{4} + ⋯ + a_{2019} - a_{2020} + a_{2021} =$ .

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三、解答题

16. 已知数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $a_{1} = - 10$ ，且 $a_{2} + 10 ， a_{3} + 8 ， a_{4} + 6$ 成等比数列.

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求 $S_{n}$ 的最小值.

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17. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} = 4$

(1)、求过点 $P (2 ， 1)$ 且与圆 $C$ 相切的直线方程；

(2)、已知直线 $x - y - m = 0$ 被圆 $C$ 截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ ，求实数 $m$ 的值.

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18. 如图， $C D ⊥$ 平面 $B C E F$ ，四边形 $A B C D$ 是矩形，四边形 $B C E F$ 为直角梯形， $B F ∥ C E$ ， $B C ⊥ C E$ ， $D C = C E = 4$ ， $B C = B F = 2$ .

(1)、求证： $A F / /$ 平面 $C D E$ ；

(2)、求平面 $A D E$ 与平面 $B C E F$ 夹角的大小.

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3$ ， $n \in N^{*}$ .

(1)、证明：数列 ${a_{n} + 3}$ 是等比数列；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 的通项公式为 $b_{n} = (n + 1) \cdot (a_{n} + 3)$ ， $n \in N^{*}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(3)、若 $c_{n} = l o g_{2} (a_{n} + 3)$ ，求数列 ${\frac{1}{c_{n} c_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 已知椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，焦距为 $2 \sqrt{2}$ .斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆 $M$ 有两个不同的交点 $A$ 、 $B$ .
（Ⅰ）求椭圆 $M$ 的方程；
（Ⅱ）若 $k = 1$ ，求 $| A B |$ 的最大值；
（Ⅲ）设 $P (- 2 ， 0)$ ，直线 $P A$ 与椭圆 $M$ 的另一个交点为 $C$ ，直线 $P B$ 与椭圆 $M$ 的另一个交点为 $D$ .若 $C$ 、 $D$ 和点 $Q (- \frac{7}{4} ， \frac{1}{4})$ 共线，求 $k$ .

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