海南省2021-2022学年高二上学期数学学业水平诊断期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. $\sqrt{5} - 2$ 和 $\sqrt{5} + 2$ 的等差中项与等比中项分别为（）

A、 $\sqrt{5}$ ， ±2 B、2， $\pm \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{5}$ ， ±1 D、1， $\pm \sqrt{5}$

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2. 双曲线 $\frac{x^{2}}{12} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线方程为（）

A、 $x \pm \sqrt{3} y = 0$ B、 $\sqrt{3} x \pm y = 0$ C、 $x \pm 3 y = 0$ D、 $x \pm y = 0$

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3. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2$ 且 $a_{1} = 1$ ，则（）

A、 ${a_{n}}$ 是等差数列 B、 ${a_{n}}$ 是等比数列 C、 ${a_{n} + 1}$ 是等比数列 D、 ${a_{n} + 2}$ 是等比数列

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4. 已知点 $P (1 ， 2)$ 在抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上，则点 $P$ 到抛物线焦点的距离为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 已知圆 $C$ 过点 $A (7 ， - 2)$ ， $B (4 ， 1)$ ，且圆心在 $x$ 轴上，则圆 $C$ 的方程是（）

A、 $(x - 5)^{2} + y^{2} = 8$ B、 $(x - 6)^{2} + y^{2} = 5$ C、 $(x - 5)^{2} + y^{2} = 4$ D、 $(x - 4)^{2} + y^{2} = 13$

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6. 已知数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = l o g_{2} \frac{n + 1}{n}$ ，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则满足 $S_{n} > 5$ 的 $n$ 的最小值为（）

A、30 B、31 C、32 D、33

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7. 加斯帕尔·蒙日（图1）是18～19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图2）．则椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的蒙日圆的半径为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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8. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $\vec{A B} = (0 ， 1 ， - 1)$ ， $\vec{A C} = (1 ， 4 ， 0)$ ， $\vec{A A_{1}} = (1 ， - 1 ， 4)$ ，则这个三棱柱的高 $h =$ （）

A、1 B、 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$

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二、多选题

9. 下列空间向量为单位向量且与 $x$ 轴垂直的有（）

A、 $\vec{a} = (1 ， 0 ， 0)$ B、 $\vec{b} = (0 ， 0 ， 1)$ C、 $\vec{c} = (0 ， \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $\vec{d} = (0 ， \frac{1}{2} ， \frac{1}{2})$

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10. 已知两条平行直线 $l_{1} ： \sqrt{3} x - y + 1 = 0$ 和 $l_{2} ： \sqrt{3} x - y + a = 0$ 之间的距离小于1，则 $a$ 的值可能为（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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11. 在各项均为正数的等比数列 ${a_{n}}$ 中，已知 $a_{1} + a_{5} = \frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{5}} = \frac{5}{2}$ ，则（）

A、 $a_{2} a_{4} = 1$ B、 $a_{2} + a_{4} = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $q = 2$ 或 $\frac{1}{2}$ D、 $a_{1} = 2$ 或 $\frac{1}{2}$

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12. 双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，左顶点为 $A$ ．直线 $l$ 过点 $F_{1}$ 与 $C$ 的一条渐近线垂直于点 $N$ ，与 $C$ 的右支交于点 $M$ ，若 $| F_{1} N | = \frac{1}{2} | M N |$ ，则（）

A、直线 $N A ⊥ x$ 轴 B、 $F_{2}$ 到直线 $M F_{1}$ 的距离为 $2 a$ C、 $| M F_{2} | = a + b$ D、 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{13}}{2}$

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三、填空题

13. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前4项依次为 $- 1$ ， $\frac{1}{2}$ ， $- \frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，则 ${a_{n}}$ 的一个通项公式为 $a_{n} =$ ．

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14. 已知点 $P (a ， 2)$ ， $Q (- 3 ， b)$ ，其中 $a ， b \in R$ ，若线段 $P Q$ 的中点坐标为 $(2 ， 0)$ ，则直线 $P Q$ 的方程为．

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15. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 4 x$ ，过焦点 $F$ 作倾斜角为 $60 °$ 的直线与 $C$ 交于 $P$ ， $Q$ 两点， $P$ ， $Q$ 在 $C$ 的准线上的投影分别为 $M$ ， $N$ 两点，则 $| M N | =$ .

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16. 斐波那契数列，又称“兔子数列”，由数学家斐波那契研究兔子繁殖问题时引入．已知斐波那契数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n} (n \in N^{*})$ ，若记 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + ⋯ + a_{2019} = M$ ， $a_{2} + a_{4} + a_{6} + ⋯ + a_{2020} = N$ ，则 $a_{2022} =$ ．（用 $M$ ， $N$ 表示）

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四、解答题

17. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中． $a_{1} + a_{3} = 10$ ， $a_{4} - a_{2} = 4$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式：

(2)、记 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，求满足 $S_{n} \leq 120$ 的 $n$ 的最大值．

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18. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 4 x + 4 y - 12 = 0$ ，直线 $l$ 的斜率为2，且过点 $(0 ， 4)$ ．

(1)、判断 $l$ 与 $C$ 的位置关系；

(2)、若圆 $M ： x^{2} + y^{2} - 4 = 0$ ，求圆 $C$ 与圆 $M$ 的公共弦长．

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19. 如图所示，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ ， $F$ ， $G$ 分别是 $A B$ ， $B C$ ， $A_{1} C_{1}$ 的中点．

(1)、证明： $A_{1} E / / F G$ ；

(2)、求直线 $A B_{1}$ 与平面 $E F G$ 所成角的大小．

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20. 如图所示，在四棱锥 $E - A B C D$ 中， $E D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $B C ∥ A D$ ．且 $∠ B A C = ∠ C A D = 3 0^{°}$ ．

(1)、证明：平面 $E A C ⊥$ 平面 $E C D$ ；

(2)、若 $D E = C D$ ，求平面 $E A B$ 与平面 $E C D$ 的夹角的余弦值．

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = \frac{a_{n} (a_{n} + 1)}{2}$ ，且 $a_{n} > 0$ ．

(1)、证明：数列 ${a_{n}}$ 为等差数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ ，记数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $2 - T_{n} \leq λ b_{n}$ ，对任意 $n \in N^{*}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围．

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22. 已知椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的左焦点为 $F$ ，上顶点为 $B$ ，直线 $B F$ 与椭圆的另一个交点为 $A$ ．

(1)、求点 $A$ 的坐标；

(2)、过点 $F$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $C$ ， $D$ 两点（均与 $A$ ， $B$ 不重合），过点 $F$ 与 $x$ 轴垂直的直线分别交直线 $A C$ ， $B D$ 于点 $M$ ， $N$ ，证明：点 $M$ ， $N$ 关于 $x$ 轴对称．

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