四川省雅安市2021-2022学年高二上学期理数期末检测试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线l： $x + y + 1 = 0$ 的倾斜角 $α$ 为（）

A、30° B、45° C、135° D、150°

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2. 抛物线 $y = - \frac{1}{8} x^{2}$ 的准线方程是（）

A、 $y = 2$ B、 $y = - 2$ C、 $y = - \frac{1}{32}$ D、 $y = \frac{1}{32}$

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3. 圆 $C_{1}$ ： ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 36$ 与圆 $C_{2}$ ： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 4 = 0$ 的位置关系是（）

A、内切 B、外切 C、相交 D、外离

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4. 从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥不对立的两个事件是（）

A、至少有1个黑球与都是红球 B、至少有1个黑球与都是黑球 C、至少有1个黑球与至少有1个红球 D、恰有1个黑球与恰有2个黑球

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5. 已知直线 $l_{1}$ ： $(a - 3) x + (4 - a) y + 1 = 0$ ，与 $l_{2}$ ： $2 (a - 3) x - 2 y + 3 = 0$ 平行，则a的值是（）

A、3 B、-5 C、3或-5 D、3或5

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6. 甲、乙两位同学将高三6次物理测试成绩做成如图所示的茎叶图加以比较（成绩均为整数满分100分），乙同学对其中一次成绩记忆模糊，只记得成绩不低于90分且不是满分，则甲同学的平均成绩超过乙同学的平均成绩的概率为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{5}{9}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{3}{4}$

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7. 记集合 $A = {(x ， y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1}$ ， $B = {(x ， y) ∣ x + y \leq 1 ，且 x \geq 0 ， y \geq 0}$ 构成的平面区域分别为M，N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为（）

A、 $\frac{1}{4 π}$ B、 $\frac{1}{3 π}$ C、 $\frac{1}{2 π}$ D、 $\frac{1}{π}$

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8. 直线 $A B$ 过椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{2} = 1$ 内一点 $P (1 ， n)$ ，若点 $P$ 为弦 $A B$ 的中点，设 $k_{1}$ 为直线 $A B$ 的斜率， $k_{2}$ 为直线 $O P$ 的斜率，则 $k_{1} \cdot k_{2}$ 的值为（）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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9. 以下给出的是计算 $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{6} + ⋯ + \frac{1}{20}$ 的值的一个程序框图（如图所示），其中判断框内应填入的条件是（）

A、i>10? B、i<10? C、i<20? D、i >20?

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10. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点M在双曲线C上，点I为 $△ M F_{1} F_{2}$ 的内心，且 $S_{△ I M F_{1}} + S_{△ I M F_{2}} = 2 S_{△ I F_{1} F_{2}}$ ， $| M F_{1} | = 2 | M F_{2} |$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、2 C、3 D、 $2 \sqrt{3} - 1$

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11. 下列说法正确的个数是（）
①在空间直角坐标系中，点 $A (1 ， - 2 ， 3)$ 关于y轴对称点B的坐标为 $(- 1 ， - 2 ， - 3)$ ②利用秦九韶算法计算 $f (x) = x^{5} + 4 x^{4} - 3 x^{2} + x + 5$ ，当 $x = 2$ ， $v_{3} = 12$ ③二进制数 $1010 1_{(2)}$ 化为十进制数的结果为21④点A在圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 上运动，动直线 $l_{1}$ ： $m x - y + 2 m - 2 = 0 (m \in R)$ 过点B，则 $| A B |$ 的最大值是7

A、1 B、2 C、3 D、4

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12. 已知F是椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左焦点，设动点P在椭圆上，若直线FP的斜率大于 $\sqrt{3}$ ，则直线OP（O为原点）的斜率的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 2) ∪ (\frac{3 \sqrt{3}}{8} ， 2)$ B、 $(- \infty ， - \frac{3}{2}) ∪ (\frac{3 \sqrt{3}}{8} ， \frac{3}{2})$ C、 $(- \infty ， - \frac{3}{2}) ∪ (\frac{3 \sqrt{2}}{8} ， \frac{3}{2})$ D、 $(- \infty ， - \frac{3}{2}) ∪ (\frac{2 \sqrt{3}}{8} ， \frac{3}{2})$

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二、填空题

13. 双曲线 $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$ 的渐近线方程是.

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14. 若x，y满足约束条件 ${\begin{cases} x - y + 1 \geq 0 \\ x - 2 y \leq 0 \\ x + 2 y - 2 \leq 0 \end{cases}$ ，则z=x+y的最大值为．

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15. 若实数x，y满足 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0$ ，则 $\frac{y - 4}{x - 2}$ 的取值范围为.

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16. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点F到其准线的距离为2，圆M： ${(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A，P，Q，B四点，则 $| A P | + 4 | B Q |$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 已知：直线 $l_{1}$ ： $x + y - 3 = 0$ 与直线 $l_{2}$ ： $2 x - 3 y - 1 = 0$ 交于点P．

(1)、求直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 交点P的坐标．

(2)、若过点P的直线l与两坐标轴截距互为相反数，求l的直线方程．

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18. 某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据.
单价x（万元）
8.2
8.4
8.6
8.8
销量y（件）
90
85
80
77
（附： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n (\bar{x})^{2}}$ ， $\hat{a} = y - \hat{b} x$ ）

(1)、求线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ；

(2)、估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为4.5万元/件，为使科研所获利最大，该产品定价约为多少万元？（精确到千元）

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19. 已知坐标平面上动点 $M (x ， y)$ 与两个定点 $O (0 ， 0)$ 、 $A (3 ， 0)$ ，且 $| M O | = \frac{1}{2} | M A |$ ，设动点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ .

(1)、若直线 $x + \sqrt{3} y + 2 = 0$ 与曲线 $C$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，求 $| P Q |$ 的长；

(2)、若点 $B (3 ， 2)$ 与动点 $M$ 所连线段上有一点 $E$ ，满足 $\vec{B E} = 3 \vec{E M}$ ，求点 $E$ 的轨迹方程.

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20. 树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环.据此，某市推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组：第1组[15，25），第2组[25，35），第3组[35，45），第4组[45，55），第5组[55，65），得到的频率分布直方图如图所示

(1)、求出a的值；

(2)、求这200人年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数（精确到小数点后一位）；

(3)、现在要从年龄较小的第1，2组中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行问卷调查，求这2人恰好在同一组的概率．

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21. 已知：抛物线C的顶点在坐标原点，焦点F在x轴上，已知抛物线C上一点 $M (2 ， m)$ 到焦点F的距离为3．

(1)、求抛物线C的方程．

(2)、设 $D (- 2 ， 2)$ ，动直线L： $y = k (x - 2)$ 与抛物线C相交于B，E两点，记直线DE和直线DB的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，证明： $k_{1} + k_{2}$ 为定值．

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22. 已知：椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，（ $a > b > 0$ ）的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，且点 $E (\sqrt{2} ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在已知椭圆C上．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点 $A (4 ， 0)$ 且斜率不为0的直线与已知椭圆C交于M，N两点，过点M作 $M Q ⊥ x$ 轴交椭圆C于点Q，求证直线QN过定点，并求出该定点坐标．

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单价x（万元）	8.2	8.4	8.6	8.8
销量y（件）	90	85	80	77