山西省太原市2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 抛物线y²=4x的焦点坐标是（　　）

A、（0，2） B、（0，1） C、（2，0） D、（1，0）

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2. 已知函数 $f (x) = x + s i n x$ ，则 $f (0) =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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3. 在等差数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{2} + a_{3} = 9$ ， $a_{4} = 7$ ，则其公差 $d =$ （）

A、-4 B、-2 C、2 D、4

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4. 已知函数 $f (x)$ 的导函数 $y = f^{^{'}} (x)$ 的图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x_{2})$ 是极小值 B、 $f (x_{3})$ 是极小值 C、 $f (x_{4})$ 是极大值 D、 $f (x_{5})$ 是极大值

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5. 已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的左右焦点，点P在该双曲线上，若 $| P F_{1} | = 5$ ，则 $| P F_{2} | =$ （）

A、4 B、4或6 C、3 D、3或7

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6. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} = 2$ ， $4 a_{1} + a_{3} = 8$ ， $S_{n}$ 是 ${a_{n}}$ 的前n项和，则 $S_{5} =$ （）

A、15 B、31 C、48 D、63

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7. 已知直线 $y = x + 1$ 经过抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的焦点，若点 $M (x_{0} ， 1)$ 在该抛物线上，则 $x_{0} =$ （）

A、±1 B、 $\pm \sqrt{2}$ C、±2 D、 $\pm 2 \sqrt{2}$

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8. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和 $S_{n} = 2^{n} - 1$ ，若 $b_{n} = l o g_{2} a_{n + 1} (n \in N^{*})$ ，则数列 ${b_{n}}$ 的前n项和是（）

A、 $2^{n + 1} - 1$ B、 $2^{n} - 1$ C、 $\frac{n (n + 1)}{2}$ D、 $n (n + 1)$

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9. 已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 2 x - 3 l n x$ ，则 $f (x)$ 的单调递减区间是（）

A、 $(- 3 ， 1)$ B、 $(0 ， 1)$ C、 $(- \infty ， - 3) ∪ (1 ， + \infty)$ D、 $(1 ， + \infty)$

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10. 数学史上著名的“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = m$ （m是正整数）， $a_{n + 1} = {\begin{array}{l} \frac{a_{n}}{2} ，当 a_{n} 为偶数 \\ 3 a_{n} + 1 ，当 a_{n} 为奇数 \end{array}$ 若 $a_{7} = 1$ ，则m所有可能的取值集合是（）

A、 ${3 ， 8 ， 12 ， 64}$ B、 ${1 ， 10 ， 12 ， 20}$ C、 ${4 ， 5 ， 20 ， 32}$ D、 ${1 ， 8 ， 10 ， 64}$

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11. 已知曲线 $f (x) = 2 x - l n x$ 在点 $(1 ， f (1))$ 处的切线与曲线 $g (x) = a x^{2} + (a - 1) x - 1$ 有且只有一个公共点，则实数 $a =$ （）

A、2 B、0或2 C、-2 D、-2或0

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12. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > 0$ ， $b > 0$ ）的右焦点为F，过F作渐近线 $y = \frac{b}{a} x$ 的垂线，垂足为A，且与双曲线C相交于点B，若 $\vec{F A} = 2 \vec{F B}$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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二、填空题

13. 双曲线 $\frac{y^{2}}{4} - x^{2} = 1$ 的顶点坐标为．

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14. 函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ 的极小值为．

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15. 已知 ${a_{n}}$ 是等比数列， $T_{n} = a_{1} \cdot a_{2} ⋯ ⋯ a_{n}$ ，若 $T_{9} = {(a_{1} \cdot a_{3} \cdot a_{k})}^{3}$ ，则实数 $k =$ ．

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16. 已知过抛物线 $C ： y^{2} = 3 x$ 的焦点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，直线OA（O为坐标原点）与抛物线C的准线相交于点D，则△ $A B D$ 面积的最小值为．

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三、解答题

17. 求函数 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ 在区间 $[- \frac{1}{2} ， 4]$ 上的最大值和最小值．

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18. 求适合下列条件的双曲线的标准方程：

(1)、焦点在x轴上，实轴长为2，其离心率 $e = 2$ ；

(2)、渐近线方程为 $y = \pm \frac{1}{2} x$ ，经过点 $P (2 ， 2)$ ．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 4$ ， $a_{n + 1} = 4 - \frac{4}{a_{n}} (n \in N^{*})$ ．

(1)、求证： ${\frac{1}{a_{n} - 2}}$ 是等差数列；

(2)、若 $a_{n} b_{n} = 2 (n + 1) (n \in N^{*})$ ，求数列 ${b_{n} \cdot 2^{b_{n}}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

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20. 已知定点 $F (1 ， 0)$ ，动点 $P (x ， y) (x \geq 0)$ 到点F的距离比它到y轴的距离大1．

(1)、求动点P的轨迹方程；

(2)、过 $Q (1 ， 2)$ 的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与点P的轨迹相交于点M，N（均异于点Q），记直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $k_{1} + k_{2} = 0$ ，求证：直线MN的斜率为定值．

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21. 已知定点 $F (1 ， 0)$ ，动点 $M (- 1 ， t) (t \in R)$ ，线段MF的垂直平分线与直线 $y = t$ 相交于点P．

(1)、求动点P的轨迹方程；

(2)、过 $Q (1 ， 2)$ 的直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别与点P的轨迹相交于点M，N（均异于点Q），记直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $k_{1} + k_{2} = 0$ ，求证：直线MN的斜率为定值．

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22. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} + (1 - 2 m) e^{x} - m x (m \in R)$ ．

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x)$ 有两个零点，求实数m的取值范围．

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23. 已知函数 $f (x) = e^{2 x} + (1 - 2 m) e^{x} - m x (m \in R)$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、讨论 $f (x)$ 零点的个数．

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