山西省怀仁市2021-2022学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线 $x + \sqrt{3} y + 3 = 0$ 的倾斜角是（）

A、30º B、60º C、120º D、150º

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2. 椭圆 $\frac{x^{2}}{m^{2} + 1} + \frac{y^{2}}{m^{2}} = 1 (m > 0)$ 的焦点为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，上顶点为 $A$ ，若 $∠ F_{1} A F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则 $m =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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3. 若两直线 $3 x + y - 3 = 0$ 与 $6 x + m y + 1 = 0$ 平行，则它们之间的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{2 \sqrt{10}}{5}$ C、 $\frac{5 \sqrt{10}}{26}$ D、 $\frac{7}{20} \sqrt{10}$

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4. 函数 $f (x)$ 的导函数为 $f' (x)$ ，若已知 $f' (x)$ 图象如图，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 存在极大值点 B、 $f (x)$ 在 $(0 ， + ∞)$ 单调递增 C、 $f (x)$ 一定有最小值 D、不等式 $f (x) < 0$ 一定有解

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5. 设 ${a_{n}}$ 是首项大于零的等比数列，则“ $a_{1}^{2} < a_{2}^{2}$ ”是“数列 ${a_{n}}$ 为递增数列”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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6. 已知抛物线 $C ： y = \frac{1}{4} x^{2}$ 的焦点为 $F$ ， $O$ 为坐标原点，点 $A$ 在抛物线 $C$ 上，且 $| A F | = 2$ ，点 $P$ 是抛物线 $C$ 的准线上的一动点，则 $| P A | + | P O |$ 的最小值为（）.

A、 $\sqrt{13}$ B、 $2 \sqrt{13}$ C、 $3 \sqrt{13}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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7. 已知数列 ${a_{n}}$ 是首项为 $a$ ，公差为1的等差数列，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = \frac{1 + a_{n}}{a_{n}}$ ．若对任意的 $n \in N *$ ，都有 $b_{n} ⩾ b_{5}$ 成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 6$ ， $- 5]$ B、 $(- 6 ， - 5)$ C、 $[- 5$ ， $- 4]$ D、 $(- 5 ， - 4)$

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8. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点 $P$ ，使 $| O P | = | O F_{1} |$ （ $O$ 为坐标原点），且 $| P F_{1} | = \sqrt{3} | P F_{2} |$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} - 1}{2}$ B、 $\sqrt{3} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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9. 过点P(-1，1)作圆C： $x^{2} + y^{2} - 4 x + 2 y + 1 = 0$ 的两条切线，切点分别为点A、B，则四边形ACBP的面积为（）

A、 $2 \sqrt{13}$ B、6 C、 $3 \sqrt{13}$ D、3

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10. 在公比为为q等比数列 ${a_{n}}$ 中， $S_{n}$ 是数列 ${a_{n}}$ 的前n项和，若 $a_{1} = 1 ， a_{5} = 27 a_{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $q = 4$ B、数列 ${S_{n} + 2}$ 是等比数列 C、 $S_{5} = 120$ D、 $2 l g a_{n} = l g a_{n - 2} + l g a_{n + 2} (n \geq 3)$

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11. 已知函数 $f (x) = x^{2} + b x$ 的图象在点 $A (1 ， f (1))$ 处的切线 $l$ 与直线 $3 x - y + 2 = 0$ 平行，若数列 ${\frac{1}{f (n)}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $S_{2021}$ 的值为（）

A、 $\frac{2021}{2022}$ B、 $\frac{2020}{2021}$ C、 $\frac{2019}{2020}$ D、 $\frac{2018}{2019}$

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12. 数列 ${a_{n}}$ 中，满足 $a_{n} = {\begin{array}{l} n ， n = 2 k - 1 \\ a_{k} ， n = 2 k \end{array}$ ， $k \in N^{*}$ ，设 $f (n) = a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{2^{n} - 1} + a_{2^{n}}$ ，则 $f (2018) - f (2017) =$ （）

A、 $2^{2017}$ B、 $2^{2018}$ C、 $4^{2017}$ D、 $4^{2018}$

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = x s i n x + c o s x + x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处的切线方程为.

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14. 设点 $A (- 2 ， 0)$ 和 $B (0 ， 3)$ ，在直线 $l$ ： $x - y + 1 = 0$ 上找一点 $P$ ，使 $| P A | + | P B |$ 取到最小值，则这个最小值为

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15. 已知点 $P$ 为椭圆 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 上的动点， $E F$ 为圆 $N ： x^{2} + (y - 1)^{2} = 1$ 的任意一条直径，则 $\vec{P E} \cdot \vec{P F}$ 的最大值是．

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16. 设函数 $f' (x)$ 是函数 $f (x) (x \in R)$ 的导函数，已知 $f' (x) < f (x)$ ，且 $f (0) = 2$ ，则使得 $f (x) - 2 e^{x} < 0$ 成立的x的取值范围是.

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三、解答题

17.

(1)、若 $f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + m l n x$ 在 $[1 ， + \infty)$ 是减函数，求实数m的取值范围；

(2)、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} a x^{3} - \frac{1}{2} (a + 1) x^{2} + x + 1 (a \geq 1)$ 在R上无极值点，求a的值.

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18. 设 $S_{n}$ 为数列 ${a_{n}}$ 的前n项和， $a_{1} = 1$ ，且 $n a_{n + 1} = S_{n} + n (n + 1) ， n \in N^{*}$ .

(1)、证明，数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 为等差数列；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = (a_{n} + 1) \cdot 2^{n - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和.

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19. 已知圆 $C ： x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 3 = 0$ ．

(1)、若直线 $l$ 与圆 $C$ 相切，且直线 $l$ 在两坐标轴上的截距相等，求直线 $l$ 的方程；

(2)、求与圆 $C$ 和直线 $x - y - 5 = 0$ 都相切的最小圆的方程．

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20. 如图所示，直角梯形 $A B C D$ 中， $A D / / B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A B = B C = 2 A D = 2$ ，四边形 $E D C F$ 为矩形， $D E = 2$ ，平面 $E D C F ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(1)、求证： $D F / /$ 平面 $A B E$ ；

(2)、在线段 $B E$ 上是否存在点 $P$ ，使得直线 $A P$ 与平面 $B E F$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ ，若存在，求出线段 $B P$ 的长，若不存在，请说明理由.

(3)、求二面角 $B - E F - D$ 的正弦值；

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的右焦点 $F (c ， 0)$ ，右顶点为 $A$ ，点 $P$ 是椭圆上异于点 $A$ 的任意一点， $△ A P F$ 的面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3} b^{2}}{6}$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的离心率；

(2)、设经过点 $F$ 且斜率为 $- \frac{3}{4}$ 的直线 $l$ 与椭圆在 $x$ 轴上方的交点为 $Q$ ，圆 $B$ 同时与 $x$ 轴和直线 $l$ 相切，圆心 $B$ 在直线 $x = - 4$ 上，且 $O B / / A Q$ ，求椭圆 $C$ 的方程.

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22. 设函数 $f (x) = a x^{2} - a - l n x ， g (x) = \frac{1}{x} - \frac{e}{e^{x}} ，$ 其中 $a \in R ， e = 2.71828 ⋯$ 为自然对数的底数.

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、当 $x > 1$ 时，证明：函数 $g (x)$ 无零点；

(3)、确定 $a$ 的所有可能取值，使得 $f (x) > g (x)$ 在区间 $(1 ， + \infty)$ 内恒成立.

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