山西省大同市2021-2022学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知向量 $a = (0 ， - 1 ， 1)$ 与 $b = (0 ， k^{2} ， k - 2)$ 共线，则实数k＝（）

A、0 B、1 C、－1或2 D、－2或1

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2. 若直线2x－（m＋1）y－2＝0与直线（m＋1）x－2my－3＝0垂直，则m＝（）

A、1 B、－1 C、1或－1 D、2

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3. 已知正项等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} a_{9} + a_{3} a_{7} = 18$ ，则 $l o g_{3} a_{5} =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、2

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4. 与椭圆 $\frac{x^{2}}{3} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是（）

A、 $\frac{4}{3} x^{2} - 4 y^{2} = 1$ B、 $4 x^{2} - \frac{4}{3} y^{2} = 1$ C、 $\frac{4}{3} y^{2} - 4 x^{2} = 1$ D、 $4 y^{2} - \frac{4}{3} x^{2} = 1$

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5. 已知 $f (x)$ 为偶函数，且当x＞0时， $f (x) = e^{x - 1} + x$ ，则曲线 $y = f (x)$ 在 $(- 1 ， f (- 1))$ 处的切线斜率是（）

A、－2 B、－1 C、－e D、e

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6. 在四面体OABC中， $\vec{O A} = a$ ， $\vec{O B} = b$ ， $\vec{O C} = c$ ，点M在线段OA上，且AM＝2MO，N为线段BC的中点，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} a + \frac{1}{2} b - \frac{2}{3} c$ B、 $\frac{1}{2} a - \frac{2}{3} b + \frac{1}{2} c$ C、 $- \frac{1}{3} a + \frac{1}{2} b + \frac{1}{2} c$ D、 $\frac{1}{3} a + \frac{2}{3} b - \frac{1}{2} c$

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7. 若直线y＝kx＋4经过第三象限，且被圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ 截得的弦长为2，则该直线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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8. 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，M为棱 $C_{1} D_{1}$ 的中点，则直线AM与平面 $B B_{1} D_{1} D$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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9. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为d，前n项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{6} < S_{7}$ ， $S_{7} = S_{8} > S_{9}$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $a_{8} = 0$ B、d＜0 C、 $S_{11} > S_{7}$ D、 $S_{7}$ 与 $S_{8}$ 为 $S_{n}$ 的最大值

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10. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - m x^{2} + 2$ （m＞0）的单调递减区间为 $(a ， b)$ ，若 $b - a \leq 2$ ，则m的最大值为（）

A、1 B、2 C、3 D、6

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11. 已知点P在圆M： ${(x - 4)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 上，点 $A (2 ， 0)$ ， $B (0 ， 2)$ ，则 $∠ P B A$ 最小和最大时分别为（）

A、0°和60° B、15°和75° C、30°和90° D、45°和135°

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12. 已知抛物线 $y^{2} = \frac{1}{2} x$ ，点A，B在抛物线上且位于x轴两侧，若 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 5$ （O为坐标原点），则 $△ A O B$ 面积的最小值为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{5}}{4}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{3 \sqrt{5}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$

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二、填空题

13. 已知平面α的一个法向量为 $m = (1 ， 1 ， 2)$ ，点 $A (0 ， 1 ， 2)$ ， $B (x ， 0 ， 1)$ 是平面α内的两点，则x＝．

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14. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是双曲线E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b} = 1$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在E上，若线段 $P F_{2}$ 的中点在y轴上， $∠ P F_{2} F_{1} = 60 °$ ，则E的离心率为．

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15. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n + 1} = a_{n} + {(- \frac{1}{3})}^{n}$ ，则 $a_{2022} =$ ．

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16. 已知m＜0，函数 $f (x) = \frac{l n x + 1}{x} - \frac{m x}{e^{x}} - 2$ ，若函数 $y = f (f (x))$ 与 $y = f (x)$ 有相同的最大值，则m的取值范围为．

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三、解答题

17. 已知向量 $a = (x^{2} ， x + 1 ， 1)$ ， $b = (2 - x ， t ， - x^{2})$ ，若函数 $f (x) = a \cdot b$ 在区间 $(0 ， 1)$ 上单调递增，求实数t的取值范围．

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18. 已知圆C经过点 $A (4 ， 0)$ ，且与直线x－y＋2＝0相切于点 $B (- 2 ， 0)$ ．

(1)、求圆C的方程；

(2)、设直线l：y＝x＋1与圆C相交于点M，N，求 $| M N |$ ．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 是单调递减的等比数列， $a_{1} = \frac{1}{4}$ 且 $4 a_{4}$ ， $a_{2}$ ， $2 a_{3}$ 成等差数列．

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、设 $b_{n} = l o g_{\frac{1}{2}} a_{n}$ ， $c_{n} = \frac{1}{b_{n} \cdot b_{n + 1}}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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20. 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形， $P A ⊥$ 平面ABCD，PA＝AD＝2，AB＝1，E为棱PD的中点．

(1)、求证： $A E ⊥$ 平面PCD；

(2)、求平面AEC与平面PAC的夹角余弦值．

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21. 已知椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）过点 $(1 ， \frac{\sqrt{3}}{2})$ ，且离心率 $e = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆E的方程；

(2)、设过原点O的直线l交椭圆E于M，N两点，点 $B (1 ， - \frac{1}{2})$ ，求 $△ B M N$ 面积的最大值．

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22. 已知函数 $f (x) = x l n x + a e^{x}$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ ）在点 $(1 ， a e)$ 处的切线方程为y＝2x＋b，求实数a，b的值；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - 2 a e^{x}$ 有两个极值点，求实数a的取值范围．

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