内蒙古包头市2021-2022学年高二上学期理数期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 命题“ $\forall x > 0$ ， $l n x \leq x - 1$ ”的否定是（）

A、 $\exists x_{0} > 0$ ， $l n x_{0} > x_{0} - 1$ B、 $\exists x_{0} \leq 0$ ， $l n x_{0} > x_{0} - 1$ C、 $\forall x > 0$ ， $l n x > x - 1$ D、 $\forall x \leq 0$ ， $l n x > x - 1$

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2. 圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 16$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 9$ 的位置关系为（）

A、相离 B、内切 C、外切 D、相交

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3. 若双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{6}$

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4. 在空间直角坐标系Oxyz中，点 $(2 ， - 3 ， 1)$ 在xOy平面上的射影到坐标原点O的距离为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{10}$ C、 $\sqrt{13}$ D、 $\sqrt{14}$

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5. 若圆 $x^{2} + {(y - a)}^{2} = 1 (a > 0)$ 与直线 $y = \sqrt{3} x$ 只有一个公共点，则 $a$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、3 D、 $2 \sqrt{3}$

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6. 用数学归纳法证明 $- 1 + 3 - 5 + ⋯ + {(- 1)}^{n} (2 n - 1) = {(- 1)}^{n} n (n \in N^{*})$ 时，若记 $f (n) = - 1 + 3 - 5 + ⋯ + {(- 1)}^{n} (2 n - 1)$ ，则 $f (k + 1) - f (k) =$ （）

A、 ${(- 1)}^{k + 1} k$ B、 ${(- 1)}^{k + 1} (k + 1)$ C、 ${(- 1)}^{k + 1} (2 k)$ D、 ${(- 1)}^{k + 1} (2 k + 1)$

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7. 对于非零实数a，b，以下四个式子均恒成立，对于非零复数a，b，下列式子仍然恒成立的是（）

A、 $| a b | = | a | | b |$ B、 $a + \frac{1}{a} \neq 0$ C、 ${(a + b)}^{2} \geq 0$ D、 $a^{2} = {| a |}^{2}$

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8. 已知两点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ .若动点M满足 ${| M A |}^{2} + {| M B |}^{2} = d (d > 0)$ ，则“ $d \geq 8$ ”是“动点M的轨迹是圆”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9. 已知点A，B在双曲线 $x^{2} - y^{2} = 3$ 上，线段AB的中点为 $M (1 ， 2)$ ，则 $| A B | =$ （）

A、 $2 \sqrt{5}$ B、 $4 \sqrt{5}$ C、 $2 \sqrt{10}$ D、 $4 \sqrt{10}$

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10. 学生的音乐､美术成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”三种.若学生甲的音乐､美术成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”，如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在音乐成绩相同､美术成绩也相同的两个学生，那么这组学生最多有（）

A、2人 B、3人 C、4人 D、5人

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11. 已知抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的焦点为F，P为抛物线上一点，过点P向抛物线的准线作垂线，垂足为N.若 $∠ P N F = 60 °$ ，则 $△ P N F$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、 $8 \sqrt{3}$

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12. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{3} = 1 (a > \sqrt{3})$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，点P在椭圆C上且位于第一象限， $∠ F_{1} P F_{2}$ 的平分线交x轴于点M.若 $\vec{F_{1} M} = 3 \vec{M F_{2}}$ ，则a的取值范围是（）

A、 $(2 ， + ∞)$ B、 $(2 \sqrt{2} ， 3)$ C、 $[2 ， + \infty)$ D、 $(\sqrt{3} ， 3]$

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二、填空题

13. 复数z满足 $z (1 - i) = 2 i$ （i为虚数单位），则 $\bar{z}$ 的虚部为.

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14. 已知命题p：若 $x^{2} < y^{2}$ ，则 $x < y$ ；命题 $q ： \forall x \in R$ ，直线 $x - m y - \sqrt{3} = 0$ 与椭圆 $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 恒有两个公共点.在命题①q；② $p \lor (\neg q)$ ；③ $(\neg p) \land q$ 中，所有真命题的序号是.

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15. 设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{36} + \frac{y^{2}}{20} = 1$ 的两个焦点，M为C上一点且在第二象限.若 $△ M F_{1} F_{2}$ 为等腰三角形，则M的坐标为.

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16. 已知点 $M (- \frac{1}{2} ， 1)$ 和抛物线 $C ： y^{2} = 2 x$ ，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若 $∠ A M B = 90 °$ ，则 $k =$ .

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三、解答题

17. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的两个焦点分别为 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0)$ ， $F_{2} (\sqrt{3} ， 0)$ ，且过点 $P (\sqrt{3} ， 2)$ .

(1)、求双曲线C的虚轴长；

(2)、求与双曲线C有相同渐近线，且过点 $Q (- 3 ， 6)$ 的双曲线的标准方程.

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18. 已知圆C经过点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (6 ， 0)$ ，且圆心C在直线 $y = - x$ 上.

(1)、求圆C的一般方程；

(2)、若圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 4$ 和圆C相交于点M，N，求线段MN的长.

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19. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ， $A B = 2 C D = 2 B C = 2 A D = 2$ ， $∠ D A B = 60 °$ ， $A E = B E$ ， $△ P A D$ 为正三角形，且平面 $P A D ⊥$ 平面ABCD.

(1)、求二面角 $P - E C - B$ 的余弦值；

(2)、线段PB上是否存在一点M（不含端点），使得异面直线DM和PE所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ？若存在，指出点M的位置；若不存在，请说明理由.

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20. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，准线方程为 $x = - 1$ .

(1)、求抛物线的标准方程；

(2)、若定点 $P (2 ， 1)$ ，直线l与地物线C交于A，B两点，且 $\vec{A P} = \frac{1}{7} \vec{P B}$ ，求直线l的斜率.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的长轴长为4，左顶点为A，点 $P (1 ， \frac{3}{2})$ 在椭圆上.

(1)、求椭圆C的方程及离心率；

(2)、设直线l与椭圆C交于不同两点M，N（不同于A），且直线AM与AN的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，求A在l上的射影H的轨迹方程.

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22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = r c o s α ， \\ y = r s i n α \end{array}$ （ $0 < r < 2 \sqrt{2}$ ， $α$ 为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2} ： ρ^{2} = 8 c o s 2 θ$ （如图所示）.

(1)、若 $r = 2$ ，求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程，并求曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交点的直角坐标；

(2)、已知曲线 $C_{2}$ 既关于原点对称，又关于坐标轴对称，且曲线 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 交于不同的四点A，B，C，D，求矩形ABCD面积的最大值.

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23. 已知函数 $f (x) = 2 | x + 1 | + | 2 x - m |$ .

(1)、若 $m = 2$ ，求不等式 $f (x) \leq 6$ 的解集；

(2)、 $\forall x_{1} \in R$ ， $\exists x_{2} \in (0 ， + \infty)$ ，使得 $f (x_{1}) - 2 \geq x_{2} + \frac{1}{x_{2}}$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

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