辽宁省大连市2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 直线l₁：2x＋3y－2＝0，l₂：2x＋3y＋2＝0的位置关系是（）

A、垂直 B、平行 C、相交 D、重合

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2. 已知空间向量 $\vec{a} = (- 1 ， 0 ， 3)$ ， $\vec{b} = (3 ， - 2 ， x)$ ，若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则实数 $x$ 的值是（）．

A、-1 B、0 C、1 D、2

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3. 若直线l经过 $O (0 ， 0)$ ， $A (1 ， \sqrt{3})$ 两点，则直线l的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{2}$

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4. 直线 $3 x + 4 y = b$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 2 y + 1 = 0$ 相切，则 $b =$ （）

A、-2或12 B、2或-12 C、-2或-12 D、2或12

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5. 直线l过抛物线C：y²=2px(p>0)的焦点，且与C交于A，B两点，|AB|=4，若AB的中点到y轴的距离为1，则p的值是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6. 如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则 $\vec{F G} · \vec{E D} =$ （）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $- \frac{1}{8}$ D、 $- \frac{3}{8}$

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7. 阿基米德出生于希腊西西里岛叙拉古，享有“力学之父”的美称，和高斯、牛顿并列为世界三大数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积等于圆周率、椭圆的半长轴长、椭圆的半短轴长三者的乘积.已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的面积为 $20 π$ ，左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， M为椭圆C上一点，且 $△ F_{1} F_{2} M$ 的周长为16，则椭圆C的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$

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8. 如图1，矩形ABCD， $A B = 3$ ， $A D = 1$ ， E为CD中点，F为线段CE（除端点外）的动点，如图2，将 $△ A F D$ 沿AF折起，使平面 $A B D ⊥$ 平面ABC，在平面ABD内，过点D作 $D K ⊥ A B$ ， K为垂足，则AK长度的取值范围为（）

A、 $(\frac{1}{3} ， \frac{2}{3})$ B、 $(\frac{1}{3} ， \frac{1}{2})$ C、 $(\frac{1}{3} ， 1)$ D、 $(0 ， \frac{1}{2})$

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二、多选题

9. 下列圆锥曲线中，焦点在x轴上的是（）

A、 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{y^{2}}{9} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ C、 $y^{2} = 8 x$ D、 $x^{2} = 8 y$

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10. 已知空间向量 $\vec{a} = (1 ， 1 ， 1)$ ， $\vec{b} = (- 1 ， 0 ， 2)$ ，则下列正确的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b} = (0 ， 1 ， 3)$ B、 $| \vec{a} | = \sqrt{3}$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 2$ D、 $⟨ \vec{a} ， \vec{b} ⟩ = \frac{π}{4}$

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11. 如图，正四面体 $D - A B C$ 的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列正确的是（）

A、三棱锥 $O - A B C$ 是正三棱锥 B、直线 $O B / /$ 平面ACD C、直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、异面直线AB和CD所成角是90°

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12. 已知抛物线 $x^{2} = 2 y$ ，点 $M (t ， - 1)$ ， $t \in [\frac{1}{2} ， 1]$ ，过M作抛物线的两条切线MA，MB，其中A，B为切点，且A在第一象限，直线AB与y轴交于点P，则下列结论正确的有（）

A、点P的坐标为 $(0 ， 1)$ B、 $O A ⊥ O B$ C、 $△ M A B$ 的面积的最大值为 $3 \sqrt{3}$ D、 $\frac{| P A |}{| P B |}$ 的取值范围是 $[2 ， 2 + \sqrt{3}]$

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三、填空题

13. 双曲线 $C ： x^{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的渐近线方程为．

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14. 已知 $A (0 ， y ， 3)$ ， $B (- 1 ， - 2 ， z)$ ，若直线l的方向向量 $\vec{v} = (2 ， 1 ， 3)$ 与直线AB的方向向量平行，则 $y + z =$ .

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15. 已知G是正方形ABCD的中心，点P为正方形ABCD所在平面外一点，若 $\vec{P A} + \vec{P B} + \vec{P C} + \vec{P D} = λ \vec{P G}$ ，则实数 $λ =$ .

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16. 双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 上一点P（点P在第一象限），过双曲线C中心O且与坐标轴不平行的直线l交双曲线C左右两支于A，B两点（点A，B异于点P），设直线PA，PB的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，且 $k_{1} k_{2} = \frac{1}{4}$ ，则双曲线C的离心率为.

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四、解答题

17. ①直线l： $x + y + 2 = 0$ ，圆C： $x^{2} + y^{2} = 9$ ；②直线l： $x + y = 0$ ，圆C： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 9$ .这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并完成解答.

(1)、直线l和圆C相交于A，B两点，求AB长；

(2)、求圆C上点到直线l距离最大值.
注：如果选择多个条件分别作答，则按第一个解答计分.

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18. 如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = B C = 1$ ， $A A_{1} = 3$ ，且 $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{D A_{1}}$ .

(1)、求平面BDC与平面 $B D C_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、求点 $B_{1}$ 到平面BDC距离.

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19. 在三棱锥 $O - A B C$ 中， $O A$ ， $O B$ ， $O C$ 两两互相垂直，E为 $O C$ 的中点，且 $2 O A = O B = O C = 2$ ，求直线AE与BC所成角的大小（用两种方法解答）.

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20. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的点T（3，t）到焦点F的距离为4.

(1)、求p的值；

(2)、设A，B是抛物线C上分别位于x轴两侧的两个动点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 5$ ，其中O为坐标原点.求证：直线AB过定点.

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21. 已知点 $A (- 2 ， 0)$ ， $B (2 ， 0)$ ，动点 $R (x ， y)$ 满足直线AR与BR的斜率之积为 $- \frac{1}{4}$ .记R的轨迹为曲线C.

(1)、求曲线C的方程；

(2)、设经过点 $Q (1 ， 0)$ 的直线l交曲线C于M，N两点，设直线BM，BN的斜率为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，直线AM与直线BN交于点G.
①求 $k_{1} k_{2}$ 的值；
②求证点G在定直线上.

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22. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的半焦距为1，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、若Q是椭圆C的长轴上的动点（不包含端点），过Q作互相垂直的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{1}$ 交椭圆C于A、B两点， $l_{2}$ 交椭圆C于M、N两点，求四边形AMBN面积的最大值.

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