湖南省长沙市长沙县、望城区、浏阳市2021-2022学年高二上学期数学期末调研考试试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若两直线 $l_{1} : (a - 1) x - 3 y - 2 = 0$ 与 $l_{2} : x - (a + 1) y + 2 = 0$ 平行，则 $a$ 的值为（）

A、±2 B、2 C、-2 D、0

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2. 若抛物线 $x^{2} = m y$ 过点 $(1 ， - 4)$ ，则该抛物线的焦点坐标为（）

A、 $(0 ， - \frac{1}{16})$ B、 $(- \frac{1}{16} ， 0)$ C、 $(- 1 ， 0)$ D、 $(0 ， - 1)$

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3. 若曲线 $y = e^{x}$ 在 $x = 0$ 处的切线，也是 $y = \ln x + b$ 的切线，则 $b =$ （）

A、-1 B、1 C、2 D、e

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4. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，椭圆 $C$ 的中心在原点，焦点 $F_{1} ， F_{2}$ 在 $x$ 轴上，离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A ， B$ 两点，且 $△ A B F_{2}$ 的周长为16，则椭圆 $C$ 的方程为（）

A、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{16} = 1$ D、 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{8} = 1$

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5. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} ， a_{7}$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + 4 x^{2} + 9 x - 1$ 的极值点，则 $a_{5} =$ （）

A、-4 B、-3 C、3 D、4

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6. 已知过点 $P (2 ， 2)$ 的直线与圆 $x^{2} + (y - 1)^{2} = 5$ 相切，且与直线 $a x - y + 1 = 0$ 垂直，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、-2 D、2

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7. 已知矩形 $A B C D$ ， $P$ 为平面 $A B C D$ 外一点，且 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $M$ ， $N$ 分别为 $P C$ ， $P D$ 上的点，且 $\vec{P M} = 2 \vec{M C}$ ， $\vec{P N} = \vec{N D}$ ， $\vec{N M} = x \vec{A B} + y \vec{A D} + z \vec{A P}$ ，则 $x + y + z =$ （）

A、 $- \frac{2}{3}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、1 D、 $\frac{5}{6}$

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8. 已知函数 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty ， 0) ∪ (0 ， + \infty)$ 上的奇函数， $f^{^{'}} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，且 $f (- 1) = 0$ ，当 $x > 0$ 时 $x f (x) + f (x) < 0$ ，则使得 $f (x) < 0$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty ， - 1) ∪ (0 ， 1)$ B、 $(- 1 ， 0) ∪ (1 ， + \infty)$ C、 $(- \infty ， - 1) ∪ (1 ， + \infty)$ D、 $(- 1 ， 0) ∪ (0 ， 1)$

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二、多选题

9. 已知双曲线 $C$ 过点 $(1 ， \sqrt{2})$ 且渐近线为 $y = \pm \sqrt{3} x$ ，点 $P$ 在双曲线 $C$ 的一条渐近线上， $O$ 为坐标原点， $F$ 为双曲线的右焦点，则下列结论正确的是（）

A、双曲线 $C$ 的离心率为2 B、双曲线 $C$ 的方程是 $3 x^{2} - y^{2} = 1$ C、 $| P F |$ 的最小值为2 D、直线 $\sqrt{3} x - y - 1 = 0$ 与 $C$ 有两个公共点

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10. 已知递减的等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $S_{5} = S_{9}$ ，则（）

A、 $a_{7} > 0$ B、 $S_{7}$ 最大 C、 $S_{14} > 0$ D、 $S_{13} > 0$

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11. 下列说法错误的是（）

A、若直线 $a^{2} x - y + 1 = 0$ 与直线 $x - a y - 2 = 0$ 互相垂直，则 $a = - 1$ B、直线 $x \sin α + y + 2 = 0$ 的倾斜角 $θ$ 的取值范围是 $[0 ， \frac{π}{4}] \cup [\frac{3 π}{4} ， π)$ C、过 $(x_{1} ， y_{1})$ ， $(x_{2} ， y_{2})$ 两点的所有直线的方程为 $\frac{y - y_{1}}{y_{2} - y_{1}} = \frac{x - x_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ D、经过点 $(1 ， 1)$ 且在 $x$ 轴和 $y$ 轴上截距都相等的直线方程为 $x + y - 2 = 0$

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12. 已知函数 $f (x) = 2 x^{3} - a x^{2} + b$ ，若 $f (x)$ 区间 $[0 ， 1]$ 的最小值为-1且最大值为1，则 $a$ 的值可以是（）

A、0 B、4 C、 $3 \sqrt[3]{2}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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三、填空题

13. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜，据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一”，在某种玩法中，用表示解下 $n (n \leq 9 ， n \in N^{*})$ 个圆环所需的移动最少次数，若 $a_{1} = 1$ ，且 $a_{n} = {\begin{array}{l} 2 a_{n - 1} - 1 ， n 为偶数 \\ 2 a_{n - 1} + 2 ， n 为奇数 \end{array}$ ，则解下5个环所需的最少移动次数为.

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14. 已知函数 $f (x) = x - \frac{k}{x} - 2 l n x$ 在 $(0 ， + ∞)$ 上是单调递增函数，则实数 $k$ 的取值范围是.

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15. 如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中，三条侧棱OA，OB，OC两两垂直，且OA，OB，OC的长分别为a，b，c，M为 $△ A B C$ 内部及其边界上的任意一点，点M到平面OBC，平面OAC，平面OAB的距离分别为 $a_{0}$ ， $b_{0}$ ， $c_{0}$ ，则 $\frac{a_{0}}{a} + \frac{b_{0}}{b} + \frac{c_{0}}{c} =$ .

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16. 我们通常称离心率为 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ， A₁ ， A₂分别为左､右顶点，B₁ ， B₂分别为上､下顶点，F₁ ， F₂分别为左､右焦点，P为椭圆上一点，现给出以下四个条件：① $| A_{1} F_{1} | \cdot | F_{2} A_{2} | = {| {_{F}}_{F} |}^{2}$ ；② $∠ F_{1} B_{1} A_{2} = 9 0^{∘}$ ；③ $P F_{1} ⊥ x$ 轴，且 $P O ∥ A_{2} B_{1}$ ；④四边形的 $A_{1} B_{2} A_{2} B_{1}$ 的内切圆过焦点 $F_{1}$ ， $F_{2}$ .其中能使椭圆C为“黄金椭圆”的条件是和.

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四、解答题

17. 解答下列各题：

(1)、求两条平行直线 $l_{1} ： 6 x + 8 y + 1 = 0$ 与 $l_{2} ： 3 x + 4 y - 6 = 0$ 间的距离.

(2)、求曲线 $y = \sqrt[3]{3 x - 1}$ 在点 $(\frac{2}{3} ， 1)$ 处的切线方程.

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = a_{n} + 2$ （ $n \in N^{*}$ ）， $a_{3} + a_{4} = 12$ .数列 ${b_{n}}$ 为等比数列，且 $b_{1} = a_{2} ， b_{2} = S_{3}$ .
（Ⅰ）求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；
（Ⅱ）设 $c_{n} = (- 1)^{n} a_{n} \cdot b_{n}$ ，求数列 ${c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．这个圆的圆拱跨度AB=20 m，拱高OP=4 m，建造时每间隔4 m需要用一根支柱支撑，求支柱A₂P₂的高度．（结果保留两位小数）

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20. 在如图所示的多面体中， $A D ∥ B C$ 且 $A D = 2 B C$ . $A D ⊥ C D$ ， $E G ∥ A D$ 且 $E G = A D$ ， $C D ∥ F G$ 且 $C D = 2 F G$ ， $D G ⊥$ 平面ABCD， $D A = D C = D G = 2$ .

(1)、求点F到直线EC的距离；

(2)、求平面BED与平面EDC夹角的余弦值.

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21. 已知椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）离心率等于 $\frac{2}{3}$ ，且椭圆C经过点 $P (2 ， \frac{5}{3})$ .

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、过点P作倾斜角分别为 $α ， β$ 的两条直线PA，PB，设PA，PB与椭圆C异于点P的交点分别为A，B，若 $α + β = π$ ，试问直线AB的斜率是否为定值？如果为定值，请求出此定值；如果不是定值，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = a x^{2} - \ln x$ ， $a \in R$ ．

(1)、若 $f (x) \geq 0$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、若 $a = - 1$ 时，方程 $f (x) = b - 3 x$ （ $b \in R$ ）在 $[\frac{1}{2} ， 2]$ 上恰有两个不等的实数根，求实数 $b$ 的取值范围．

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