湖南省大联考2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | x > - 1}$ ， $B = {x | (x + 5) (x - 10) \leq 0}$ ，则 $A ∩ B =$ （）

A、 ${x | - 1 < x \leq 10}$ B、 ${x | - 1 < x \leq 5}$ C、 ${x | x \geq - 5}$ D、 ${x | - 5 \leq x \leq 10}$

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2. 若 $x \geq 1$ ，则 $x + \frac{5}{4 x}$ 的最小值为（）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\frac{9}{4}$ D、5

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3. 已知向量 $\vec{a} = (1 ， - 1)$ ， $\vec{b} = (2 ， 5)$ ，则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、10 C、5 D、25

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4. 已知直线 $l_{1} ： m x + 4 y - 5 = 0$ 与 $l_{2} ： n x - 6 y + 7 = 0$ 垂直，则 $m$ 与 $n$ 的等比中项为（）

A、 $\sqrt{23}$ B、 $\pm \sqrt{23}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、 $\pm 2 \sqrt{6}$

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5. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{8} = 1$ 的渐近线与圆 ${(x + 10)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相切，则 $r =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、5 C、 $4 \sqrt{5}$ D、 $\frac{40 \sqrt{17}}{17}$

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6. 若 $△ A O B$ 的三个顶点坐标分别为 $A (2 ， 0)$ ， $B (0 ， - 4)$ ， $O (0 ， 0)$ ，则 $△ A O B$ 外接圆的圆心坐标为（）

A、 $(1 ， - 1)$ B、 $(- 1 ， - 2)$ C、 $(1 ， - 2)$ D、 $(- 2 ， 1)$

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7. 某公司技术部为了激发员工的工作积极性，准备在年终奖的基础上再增设30个“幸运奖”，投票产生“幸运奖”，按照得票数（假设每人的得票数各不相同）排名次，发放的奖金数成等差数列．已知前10名共发放2000元，前20名共发放3500元，则前30名共发放（）

A、4000元 B、4500元 C、4800元 D、5000元

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8. 在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 2$ ， $A A_{1} = 1$ ， O是AC的中点，点P在线段 $A_{1} C_{1}$ 上，若直线OP与平面 $A C D_{1}$ 所成的角为 $θ$ ，则 $c o s θ$ 的取值范围是（）

A、 $[\frac{\sqrt{2}}{3} ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ B、 $[\frac{\sqrt{2}}{3} ， \frac{\sqrt{6}}{3}]$ C、 $[\frac{\sqrt{3}}{4} ， \frac{\sqrt{3}}{3}]$ D、 $[\frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{\sqrt{7}}{3}]$

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二、多选题

9. 下列四个关于圆锥曲线的命题中，为真命题的是（）

A、椭圆 $\frac{x^{2}}{35} + y^{2} = 1$ 与双曲线 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ 有相同的焦点 B、设A，B为两个定点，k为非零常数，若 $| P A | - | P B | = k$ ，则动点P的轨迹为双曲线 C、方程 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D、动圆P过定点 $F (1 ， 0)$ 且与定直线 $l ： x = - 1$ 相切，则圆心P的轨迹方程是 $y^{2} = 4 x$

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10. 如图，平面 $A B C D ⊥$ 平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，若G是EF的中点， $A F = 1$ ， $A B = 2$ ，则（）

A、 $\vec{A C} \cdot \vec{B G} = - 1$ B、 $E F ∥$ 平面ABCD C、 $A G ⊥ B C$ D、三棱锥 $C - A B G$ 外接球的表面积是 $8 π$

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11. 已知 $P (x ， y)$ 为曲线 $x = 2 \sqrt{y}$ 上一动点，则（）

A、 $\sqrt{x^{2} + {(y - 1)}^{2}}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$ B、存在一个定点和一条定直线，使得P到定点的距离等于P到定直线的距离 C、 $P$ 到直线 $y = - x - 2$ 距离的最小值小于 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{x^{2} + {(y - 1)}^{2}} + \sqrt{{(x - 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2}}$ 的最小值为6

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12. 设 $S_{n}$ 和 $T_{n}$ 分别为数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的前n项和．已知 $2 S_{n} = 3 - a_{n}$ ， $b_{n} = \frac{n a_{n}}{3}$ ，则（）

A、 ${a_{n}}$ 是等比数列 B、 ${b_{n}}$ 是递减数列 C、 $\frac{S_{n}}{a_{n}} = \frac{3^{n} - 1}{3}$ D、 $\frac{S_{n}}{T_{n}} > 2$

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三、填空题

13. 若复数z满足 $(1 - i) \cdot z = 10$ ，则z的虚部为．

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14. 已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为.

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15. 已知函数 $f (x) = | \sqrt{3} s i n 2 x + c o s 2 x |$ 的图象关于直线 $x = m (0 < m < π)$ 对称，则m的最大值为．

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16. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 2} + {(- 1)}^{n} a_{n} = 4 n - 1$ ，前12项的和为298，则 $a_{1} =$ ．

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四、解答题

17. 为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套的乡村游项目，现统计了10月份100名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图（分组区间为 $[0 ， 20)$ ， $[20 ， 40)$ ， $[40 ， 60)$ ， $[60 ， 80)$ ， $[80 ， 100)$ ， $[100 ， 120]$ ）．

(1)、根据频率分布直方图，估计该组数据的众数和50%分位数（即中位数，结果精确到0.1）；

(2)、若将购买水果金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，再从这5人中任选2人，并赠送这2人价值50元的水果，求这2人中至少有1人购买水果金额不低于100元的概率．

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18. 等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{2} = 4$ ， $S_{5} = 30$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \frac{1}{9 S_{n} + 6 n + 4}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

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19. 在 $△ A B C$ 中，a，b，c分别为内角A，B，C的边．已知 $a = 6$ ， $b - c = 4$ ， $c o s B = - \frac{1}{3}$ ．

(1)、求b，c的值；

(2)、求 $s i n (A - B)$ 的值．

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20. 2021年12月8日 $~ 11$ 日，备受瞩目的2021年中国国际轨道交通和装备制造产业博览会（轨博会）在湖南株洲成功举行．假设2021年株洲轨道产业的年利润为2百亿元，预计从2022年开始，轨道产业每年的年利润将在前一年翻一番的基础上减少1百亿元，设从2021年开始，每年株洲轨道产业的年利润（单位：百亿元）依次为 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、 $⋯$ .

(1)、请用一个递推关系式表示 $a_{n + 1}$ 与 $a_{n}$ 之间的关系．

(2)、证明：数列 ${a_{n} - 1}$ 为等比数列．

(3)、预计哪一年株洲轨道产业的年利润将首次突破千亿元大关．

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21. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面ABCD，底面ABCD是直角梯形， $B C ∥ A D$ ， $A D ⊥ A B$ ， E，F分别是棱AB，PC的中点．

(1)、证明： $E F ∥$ 平面PAD．

(2)、若 $P A = A B = B C$ ， $A D = 2 B C$ ，求平面AEF与平面CDF夹角的余弦值．

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22. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，焦距为2，过 $F_{1}$ 的直线与C相交于D，E两点，且 $△ F_{2} D E$ 的周长为8．

(1)、求C的方程；

(2)、若直线l与C交于不同的两点M，N，以MN为直径的圆经过C的右顶点A，且A不在直线l上，证明直线l过定点，并求出定点坐标．

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