河北省保定市定州市2021-2022学年高二上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2022-01-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知直线l经过 $A (- 2 ， 3 \sqrt{3})$ ， $B (- 3 ， 4 \sqrt{3})$ 两点，则直线l的倾斜角是（）

A、30° B、60° C、120° D、150°

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2. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{2} a_{19} = 3 a_{8}$ ，则必有（）

A、 $a_{13} = 3$ B、 $a_{13} = 9$ C、 $a_{12} = 3$ D、 $a_{12} = 9$

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3. 已知 $a$ ， $b$ 是空间中的任意两个非零向量，则下列各式中一定成立的是（）

A、 ${(a \cdot b)}^{2} = a^{2} \cdot b^{2}$ B、 ${(a + b)}^{2} = a^{2} + b^{2}$ C、 ${(λ a)}^{2} = λ^{2} a^{2}$ D、 $\frac{a \cdot b}{| b |} = a$

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4. 下列通项公式中，对应数列是递增数列的是（）

A、 $a_{n} = 1 - n$ B、 $a_{n} = \frac{1}{4^{n}}$ C、 $a_{n} = 2 n^{2} - 5 n + 1$ D、 $a_{n} = {\begin{array}{l} n + 3 ， n \leq 2 ， \\ 2^{n - 1} ， n > 2 \end{array}$

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5. 某学习小组研究一种卫星接收天线（如图①所示），发现其曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚焦到焦点处（如图②所示）．已知接收天线的口径（直径）为3.6m，深度为0.6m，则该抛物线的焦点到顶点的距离为（）

A、1.35m B、2.05m C、2.7m D、5.4m

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6. 设P为椭圆C： $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上一点， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为左、右焦点，且 $| P F_{1} | = 3 | P F_{2} |$ ，则 $| P F_{2} | =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{15}{2}$

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7. 如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形， $△ A B C$ 是底面圆的内接正三角形．则 $\vec{P B} \cdot \vec{P C} =$ （）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{5}{2}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{9}{2}$

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8. $\sqrt{4 y + {(y - 1)}^{2}} + \sqrt{{(2 \sqrt{y} - 1)}^{2} + {(y - 5)}^{2}}$ 的最小值为（）

A、5 B、 $2 + \sqrt{17}$ C、6 D、 $1 + \sqrt{26}$

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二、多选题

9. 已知曲线 $C$ 的方程为 $a x^{2} + a y^{2} - 2 x - 2 y = 0 (a \in R)$ ，则（）

A、曲线 $C$ 可能是直线 B、当 $a = 1$ 时，直线 $3 x + y = 0$ 与曲线 $C$ 相切 C、曲线 $C$ 经过定点 D、当 $a = 1$ 时，直线 $x + 2 y = 0$ 与曲线 $C$ 相交

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10. 设等差数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} > 0$ ，公差为 $d$ ， $a_{8} + a_{9} > 0$ ， $a_{9} < 0$ ，则（）

A、 $d < 0$ B、当 $n = 8$ 时， $S_{n}$ 取得最大值 C、 $a_{4} + a_{5} + a_{18} < 0$ D、使得 $S_{n} > 0$ 成立的最大自然数 $n$ 是15

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11. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面ABCD， $A B ⊥ A D$ ， $A D ∥ B C$ ，点E为PA的中点， $A B = B C = 1$ ， $A D = 2$ ， $P A = \sqrt{2}$ ，则（）

A、 $\overset{⇀}{B E} \cdot \overset{⇀}{C P} = 3$ B、异面直线BE与CD所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、点B到平面PCD的距离为 $\frac{1}{2}$ D、BC与平面PCD所成的角为 $\frac{π}{6}$

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12. 已知A，B，C是椭圆M： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上三点，且 $A$ （ $A$ 在第一象限）， $B$ 关于原点对称， $A B ⊥ A C$ ，过 $A$ 作 $x$ 轴的垂线交椭圆 $M$ 于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，若直线 $A C$ 与 $B C$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，则（）

A、椭圆M的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、椭圆M的离心率为 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{| A E |}{| A D |} = \frac{1}{2}$ D、 $\frac{| A E |}{| A D |} = \frac{1}{3}$

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三、填空题

13. 已知双曲线C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的一条渐近线与直线l： $2 x + y - 3 = 0$ 平行，则双曲线C的离心率是．

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + 2 a_{2} + 4 a_{3} + \cdot \cdot \cdot + 2^{n - 1} a_{n} = \frac{n}{2}$ ，将数列 ${a_{n}}$ 按如下方式排列成新数列： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{2}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{3}$ ， $a_{3}$ ， $a_{3}$ ， $a_{3}$ ， …， $\underset{(2 n - 1) 项}{\underset{︸}{a_{n} ， a_{n} ， \cdot \cdot \cdot ， a_{n}}}$ ， …．则新数列的前70项和为．

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15. 将由2，5，8，11，14，…组成的等差数列，按顺序写在练习本上，已知每行写13个，每页有21行，则5555在第页第行．（用数字作答）

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16. 设 $A (0 ， - 4)$ ， $B (0 ， 4)$ ， $| P B | - | P A | = 2$ ，则动点P的轨迹方程为， P到坐标原点的距离的最小值为．

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四、解答题

17. 已知圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 与圆C： ${(x - 3)}^{2} + y^{2} = m$ ．

(1)、在① $m = 3$ ， ② $m = 4$ 这两个条件中任选一个，填在下面的横线上，并解答．
若________，判断这两个圆的位置关系；

(2)、若 $m = 5$ ，求直线 $x + y - 1 = 0$ 被圆C截得的弦长．
注：若第（1）问选择两个条件分别作答，按第一个作答计分．

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18. 等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1$ ， $a_{9} = 9 a_{7}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、记 $S_{n}$ 为 ${a_{n}}$ 的前n项和．若 $S_{m} = 61$ ，求m的值．

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19. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = \frac{3}{2} n^{2} + \frac{5}{2} n$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求数列 ${\frac{3}{a_{n} a_{n + 1}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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20. 如图，在多面体ABCEF中， $△ A B C$ 和 $△ A C E$ 均为等边三角形，D是AC的中点， $E F / / B D$ ．

(1)、证明： $A C ⊥ B F$ ．

(2)、若平面 $A B C ⊥$ 平面ACE，求二面角 $A - B C - E$ 的余弦值.

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21. 已知数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n} + b_{n - 1} = 3 (n \geq 2)$ ．

(1)、若 $a_{n} = b_{n}$ ，求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{1} = 0$ ， $a_{n - 1} + b_{n} = 1 (n \geq 2)$ ，证明 ${a_{n}}$ 为等差数列，并求 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式．

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22. 已知抛物线C： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为F， $M (x_{0} ， 2)$ 为抛物线C上一点，且 $| M F | = 2$ ．

(1)、求抛物线C的方程：

(2)、若以点 $P (t ， s)$ 为圆心， $| P F |$ 为半径的圆与C的准线交于A，B两点，过A，B分别作准线的垂线交抛物线C于D，E两点，若 $2 t = s - 1$ ，证明直线DE过定点．

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